Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Moderatorer: Aleks855 , Gustav , Nebuchadnezzar , Janhaa , DennisChristensen , Emilga
Mab
Noether
Innlegg: 36 Registrert: 15/06-2006 00:23
02/03-2008 14:18
Heisann. Jeg trenger litt hjelp med noen stykker. Jeg får dem bare ikke til og jeg aner ikke hva jeg gjør feil. Kan noen vise meg utrengingen (så detaljert som dere gidder) på disse?
1. Finn en tilnermingsverdi for integralet
[tex] \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}\ [/tex]
vedå bruke trapesmetodenmed fire trapeser, og Simpsons formel.
2. Finn et eksakt uttrykk for volumet når vi dreier det rundt x-aksen:
f(x)=sin x og [tex]\0 \le x \le \pi \[/tex]
3. Finn volumet av legmet som er avgrenset av y-aksen, linja y=9 og grafen til funksjonen f(x)=x^2,når vi roterer det rundt x-aksen.
Mab
Noether
Innlegg: 36 Registrert: 15/06-2006 00:23
02/03-2008 16:18
Hehe. Hvor detaljert vil du ha det? Jeg har ganske mange A4sider med forsøk og tull. Jeg er på bærtur. Men litt komprimert hva jeg har tenkt,
1. [tex]\frac{1}{2}(f(o) + f(\frac{\pi }{8})(\frac{\pi }{8} - 0) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{8}) + f(\frac{\pi }{4}))(\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{8}) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{4}) + f(\frac{\pi }{{2.66}}))(\frac{\pi }{{2.66}} - \frac{\pi }{4}) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{{2.66}}) + f(\frac{\pi }{2}))(\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{2.66}})\[/tex]
Har ikke prøvd meg på Sinpsons formel ennå.
3.
[tex]\begin{array}{l}\pi \int\limits_0^3 {(9)^2 } - \pi \int\limits_0^3 {(x^2 )^2 } \\ \pi \left[ {81x} \right]_0^3 - \frac{1}{5}\pi \left[ {x^5 } \right]_0^3 \\ 243\pi - \frac{{243\pi }}{5} \\ \end{array}\[/tex]
groupie
Weierstrass
Innlegg: 461 Registrert: 05/02-2008 15:48
Sted: Bergen, Vestlandet
02/03-2008 17:16
Vel, Simpsons er ikke ille:
[tex]\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right][/tex]
Dermed har vi:
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \approx \frac{\frac{\pi}{2}}{6}\left[f(0) + 4f\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)+f(\frac{\pi}{2})\right]\approx \frac{\pi}{12}\left[\sin{0}+4\sin{\frac{\pi}{4}+\sin{\frac{\pi}{2}}}\right][/tex]
EDIT: Glemte å fylle ut
Vaticinatio quae numeris Romanis utitur vetustior est milibus annis quam ulla ratio sera quae scriptis Arabicis utitur!
ettam
Guru
Innlegg: 2480 Registrert: 28/09-2005 17:30
Sted: Trondheim
02/03-2008 22:36
Trapesmetoden:
Når du deler intervallet mellom [tex]0[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] i 4 deler får du:
[tex]\Delta x = \frac{\frac{\pi }{2}}{4} = \frac{\pi }{8}[/tex]
[tex]x_1 = 0[/tex]
[tex]x_2 = x_1 + \Delta x = 0 + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{8}[/tex]
[tex]x_3 = x_2 + \Delta x = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{4}[/tex]
[tex]x_4 = x_3 + \Delta x = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8} = \frac{3 \pi }{8}[/tex]
[tex]x_5 = x_4 + \Delta x = \frac{3\pi }{8} + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{2}[/tex]
Og arealet under grafen blir:
[tex]\frac{(f(x_1) + f(x_2)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_2) + f(x_3)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_3) + f(x_4)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_4) + f(x_5)) \cdot \Delta x}{2}[/tex]
Som forenkles til:
[tex]\left(\frac12 f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + \frac12 f(x_5)\right)\cdot \Delta x[/tex]
Siden [tex]f(x) = sin x[/tex] får vi:
[tex]\left(\frac12 sin 0 + \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac12 \sin \frac{\pi}{2}\right)\cdot \frac{\pi}{8} \approx \underline{\underline{0,902}}[/tex]
ettam
Guru
Innlegg: 2480 Registrert: 28/09-2005 17:30
Sted: Trondheim
02/03-2008 22:53
3. Finn volumet av legmet som er avgrenset av [tex]y[/tex]-aksen, linja [tex]y=9[/tex] og grafen til funksjonen [tex]f(x)=x^2[/tex],når vi roterer det rundt x-aksen.
Du skal regne ut integralet:
[tex]V = \pi \int_0^9 \left(x^2 \right)^2 dx[/tex]
Mab
Noether
Innlegg: 36 Registrert: 15/06-2006 00:23
03/03-2008 16:02
Takk så mye for hjelpen.
Men jeg får enda ikke riktig svar på 3. Er du sikker på at grensen skal være 9? f(x)=x^2 krysser jo y=9 på 3. Det er det avgrensede området. Eller har jeg misforstått noe?
ettam
Guru
Innlegg: 2480 Registrert: 28/09-2005 17:30
Sted: Trondheim
03/03-2008 18:57
Selvsagt, min feil. Integranden var også feil...:
Du skal regne ut integralet:
[tex]V = \pi \int_0^3 \left(9-x^2 \right)^2 dx[/tex]
Mab
Noether
Innlegg: 36 Registrert: 15/06-2006 00:23
04/03-2008 09:42
Hehe, ja, det er jo det jeg har prøvd å regne ut hele tiden. Jeg får det bare ikke til. Kan du kanskje vise meg hvordan jeg skal løse den også?