Trigonometri 3MX, jeg løser.

[MatteNoob]

Jeg spør også om flere generelle spørsmål angående trigonometrien i 3MX underveis, men ikke i denne tråden. Spørsmålene finner du i MatteNoobs spørsmål ang. trigonometri 3MX.

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[Wentworth]

Kult, jeg er ferdig med kapittel 1 om rekker, så neste kapittel er trigonometri.

[MatteNoob]

a) Finn sinus og cosinus til v, når v er [tex]30\textdegree ,\, 70\textdegree ,\, 90\textdegree ,\, 110\textdegree ,\, 150\textdegree ,\, 290\textdegree ,\, 330\textdegree[/tex]

b) Hvilke vinkler i oppgave a har samme cosinusverdi?

c) Hvilke vinkler i oppgave a har samme sinusverdi?

a)
Merknad: Verdiene er avrundet til den tredje desimal.
[tex]\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c|c|c} \angle{v} & 30\textdegree & 70\textdegree & 90\textdegree & 110\textdegree & 150\textdegree & 290\textdegree & 330\textdegree \\ sin(\angle v) & 0.500 & 0.939 & 1 & 0.939 & 0.500 & -0.939 & -0.500 \\ cos(\angle v) & 0.866 & 0.342 & 0 & -0.342 & -0.866 & 0.342 & 0.866 \end{tabular}[/tex]

Ser ingen hensikt i å gjøre deloppgave b og c, da det kommer klart frem av tabellen.

[MatteNoob]

Kult, jeg er ferdig med kapittel 1 om rekker, så neste kapittel er trigonometri.

Kjapp deg litt, så samarbeider vi.

[Knuta]

Jeg finner ikke 3MX boka mi Så jeg får finne på noe annet.

[Wentworth]

Skal prøve å fordype meg godt.

[MatteNoob]

@ Knuta:
De får du helt sikkert stygt billig nå, ettersom folk vil bli kvitt bøkene for 3MX pga kunnskapsløftet og den medfølgende bokordningen. :]

I hvilken kvadrant er sin v positiv og cos v negativ?

Jeg velger å gjøre det litt mer omfattende

[tex]\begin{matrix}{l|c|c|c|c} \hline kvadrant & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline sinus & + & + & - & - \\ cosinus & + & - & - & + \\ tangens & + & - & + & - \end{matrix}[/tex]

[MatteNoob]

Bruk symmetrier på enhetssirkelen til å finne en vinkel i første kvadrant som has samme cosinusverdi som v, når v er:
a) [tex]300\textdegree[/tex]
b) [tex]-40\textdegree[/tex]
c) [tex]325\textdegree[/tex]

skal legge inn svar.

[MatteNoob]

Tegn enhetssirkelen og løs likningen når [tex]v\in [0\textdegree,\, 360\textdegree \rangle[/tex]

a) [tex]sin v = 0.9[/tex]

b) [tex]2 cos v = 1.5[/tex]

c) [tex]5 sin v +2 = 0[/tex]

d) [tex]1.5 sin v = 1.33 sin 65\textdegree[/tex]

e) [tex]2 cos^2 v + cos v = 0[/tex]

Jeg orker ikke å tegne enhetssirkelen for hver av likningene, men opplyser heller hvilken kvadrant hver av løsningene ligger i.

a)
[tex]v = sin^{-1}(0.9) \\ \, \\ v \approx 64.2\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree - 64.2\textdegree\\ \, \\ \underline{\underline{v \approx 64.2\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v = 115.8\textdegree}} \\ \, \\ \, \\ \text{v i 1. kvadrant, v_2 i 2. kvadrant. (Symmertrisk om andreaksen)}[/tex]

b)
[tex]2cos v = 1.5 \\ \, \\ v = cos^{-1}(\frac{1.5}{2}) \\ \, \\ v = 41.4\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 360\textdegree - 41.4\textdegree \\ \, \\ \underline{\underline{v = 41.4\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_2 = 318.6\textdegree}} \\ \, \\ \, \\ \text{v i 1. kvadrant, v_2 i 4. kvadrant. - Symmetrisk om forsteaksen.}[/tex]

c)
[tex]5sin v+2 = 0 \\ \, \\ sin v = -\frac 25 \\ \, \\ v = sin^{-1}(-0.4) \\ \, \\ v\approx -23.6\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree + |v| \\ \, \\ v = 360 - |v| \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree + |v| \\ \, \\ \underline{\underline{v = 336.4\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_2 = 203.6\textdegree}} \\ \, \\ \, \\ \text{v, 4. kvadrant og v_2, 3. kvadrant.}[/tex]

d)
[tex]1.5 sin v = 1.33 sin 65\textdegree \\ \, \\ v = sin^{-1}\left(\frac{1.33\cdot sin(65\textdegree)}{1.5}\right) \\ \, \\ v = 53.5\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree - 53.5\textdegree \\ \, \\ \underline{\underline{v = 53.5\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_2 = 126.5\textdegree}} \\ \, \\ \, \\ \text{v, 1. kvadrant, v_2, 2. kvadrant.}[/tex]

e)
[tex]2cos^2 + cos v = 0 \,\,\, u = cos v \\ \, \\ 2u^2 + u = 0 \\ \, \\ u = 0 \,\,\, \vee \,\,\, u_2 = -0.5 \,\,\, cos v = u \\ \, \\ cos v = 0\,\,\, \vee \,\,\, cos v = -0.5 \\ \, \\ v = cos^{-1}(0) \,\,\, \vee \,\,\, v = cos^{-1}(-0.5) \\ \, \\ v_1 = 90\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 360\textdegree - 90\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_3 = 120\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_4 = 360\textdegree - 120\textdegree \\ \, \\ \underline{\underline{v_1 = 90\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_2 = 270\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_3 = 120\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_4 = 240\textdegree}} \\ \, \\ \, \\ \text{v_1 1. kvadrant. v_2 3. kvadran. v_3 2. kvadrant. v_4 3. kvadrant.}[/tex]

Jeg er usikker på om 90 grader teller som 1 kvadrant. Det samme gjelder forøvrig om 270 grader teller som tredje kvadrant.

[MatteNoob]

Viserspissen på rådhusklokkas timeviser befinner seg 1.00 meter fra sentrum i klokka. Dette senteret henger 12.70 meter over bakken.



a) Finn timeviserspissens høyde over bakken når klokka viser 1400.

b) Hva kan klokka være når visertuppen er 12.20 meter over bakken?

a)
[tex]12.70+sin(30\textdegree) = \underline{\underline{13.20\, m}}[/tex]

b)
[tex]sin v + 12.7 = 12.20 \\ \, \\ sin v = -0.5 \\ \, \\ v = sin^{-1}(-0.5) \\ \, \\ v = -30 \\ \, \\ v_1 = 180+|v| \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 360 - |v| \\ \, \\ \underline{v_1 = 220\textdegree} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{v_2 = 330\textdegree}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Da er klokken enten 1600, 0400, 2000 eller 0800}}}[/tex]

[MatteNoob]

Løs likningene når [tex] v\in [0\textdegree ,\, 360\textdegree\rangle[/tex]

a) [tex]2 tan v - 1 = 0[/tex]

b) [tex]tan v + \sqrt 3 = 0[/tex]

c) [tex]2cos v - 3 sin v = 0[/tex]

d) [tex]sin^2 v = cos^2 v[/tex]

a)
[tex]2tanv -1 = 0 \\ \, \\ v = tan^{-1}\left(\frac 12\right) \\ \, \\ v_1 \approx \underline{\underline{25.6\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180 + 25.6 =\underline{\underline{ 205.6\textdegree}}[/tex]

b)
[tex]tanv + \sqrt 3 = 0 \\ \, \\ v = tan^{-1}\left(-\sqrt 3\right) \\ \, \\ v = -60 \\ \, \\ v_1 = 180\textdegree - |v| \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 360\textdegree - |v| \\ \, \\ \underline{\underline{v_1=120\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{v_2 = 300\textdegree}}[/tex]

c)
[tex]2cos v -3 sin v = 0 \\ \, \\ \frac{-3sinv}{cosv} = \frac{-2cos v}{cos v} \\ \, \\ -3tan v = -2 \\ \, \\ v = tan^{-1}\left(\frac 23\right) \\ \, \\ \underline{\underline{v_1 \approx 33.7\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree + 33.7\textdegree = \underline{\underline{213.7\textdegree}}[/tex]

d)
[tex]sin^2 v = cos^2 v \\ \, \\ \frac{sin^2 v}{cos^2 v} = \frac{cos^2 v}{cos^2 v} \\ \, \\ tan^2 v = 1 \\ \, \\ u^2 = 1 \\ \, \\ u = \pm 1 \\ \, \\ v = tan^{-1}(-1) \,\,\, \vee \,\,\, v = tan^{-1}(1) \\ \, \\ v_1 = -45 \Rightarrow 360\textdegree - |v_1| = 315\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_2 = 180\textdegree - |v_1| \,\,\, \vee \,\,\, v_3 = 45\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, v_4 = 180\textdegree + 45\textdegree = 225\textdegree \\ \, \\ \underline{\underline{L = \{315\textdegree,\, 135\textdegree,\, 45\textdegree,\, 225\textdegree\}}}[/tex]

[espen180]

Kaster meg inn med en jeg laget selv:

[tex]3sin^2v-2cos\,v-3=-1,\,v\in[0,360]\\sin^2v=-1-cos^2v\\-3cos^2v-2cos\,v+1=0\\cos\,v=u\\-3u^2-2u+1=0\\u=-1\vee\frac13\\cos\,v=-1\vee\frac13\\\angle\!v=180\,\vee\,70.5288\,\vee\,289.4712[/tex]

[mepe]

vedr. løsning til den likning du selv hadde laget,

mgl du ikke en vinkel i løsningsforslaget

når COSV = 1/3

er V = 70,5288 eller 289,4712

[espen180]

Uff. Jo, det stemmer. Takk for at du rettet på meg.

EDIT:
Rettet opp feilen.

[MatteNoob]

Finn eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens for

a) [tex]135\textdegree[/tex]

b) [tex]150\textdegree[/tex]

a)
[tex]sin(135\textdegree) = sin(45\textdegree) = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 } = \frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

[tex]cos(135\textdegree) = -cos(45\textdegree) = -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

[tex]tan(135\textdegree) = \frac{sin(45\textdegree)}{-cos(45\textdegree)} = \frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{- \frac{\sqrt 2}{2}} = -1[/tex]

b)
[tex]sin(150\textdegree) = sin(30\textdegree) = \frac 12[/tex]

[tex]cos(150\textdegree) = -cos(30\textdegree) = -\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]

[tex]tan(150\textdegree) = \frac{\frac 12}{-\frac{\sqrt 3}{2}} = - \frac{1}{\sqrt 3} = -\frac{\sqrt 3}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3} = -\frac{\sqrt 3}{3}[/tex]

Jeg antar at disse verdiene er riktige iom at de holder vann i hht fasit, derimot er jeg usikker på om fremgangsmåten for å finne dem er riktig.