Ligning for et plan

[Ostbågar]

Oppgaven er hentet fra aschehougs R2 bok, oppg. 159a)

Vi har gitt punktene A(2,0,2) og B(4,2,0). La P(x,y,z) være et punkt som er like langt fra A som fra B.

a) Et plan ligger midt i mellom A og B. Bestem ligningen for dette planet.


Da trenger vi ett punkt og en normalvektor til planet. Hvilke to vektorer er det som skal brukes til å finne normalvektoren?

[ettam]

Hint: Planet må ligge normalt på [tex]\vec {AB}[/tex]. Ser du hvorfor, og hva du kan bruke dette til?

[Ostbågar]

Pokker.. Ja, jeg skjønner.

Takk

[Ostbågar]

Nytt spørsmål:

Et plan har ligningen x + 2y + 2z -9 = 0
Finn ligningen for to plan med avstanden 6 fra planet

Skal med andre ord finne ligningen til to parallelle plan med avstanden 6. Hvordan gjør man det igjen?

[Vektormannen]

Dette kan gjøres på flere måter. En strategi kan være å finne et punkt i planet, for deretter å gå avstanden 6 langs normalvektoren til du kommer til et punkt i det nye planet.

For å finne et punkt er det enklest å sette z og y lik 0. Da har du x - 9 = 0 som gir punktet P(9,0,0). Normalvektoren har lengden [tex]\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]. Så [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg koordinatene til punktet i det nye planet. Da har du et punkt og en normalvektor. Mer trenger du ikke for å finne ligningen. Hvordan tror du du går frem for å finne det andre av to parallelle plan?

[Ostbågar]

Så [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg koordinatene til punktet i det nye planet.

Hvorfor gir to vektorer et punkt og ikke en ny vektor? Er det alltid lovlig å bruke [tex]\vec{OP}[/tex], den trenger jo ikke nødvendigvis å være en av linjene som planet er bygd opp av (?)

[Vektormannen]

Unnskyld, [tex]\vec{OP} + 2 \vec{n}[/tex] gir deg posisjonsvektoren til punktet i det nye planet. Og posisjonsvektoren gir deg koordinatene. Husk at [tex]\vec{OP}[/tex] bare er posisjonsvektoren til P, altså en vektor fra O til P. Hvis du summerer denne vektoren med 2 ganger lengden til normalvektoren får du posisjonsvektoren til et punkt i det nye planet (et punkt med avstand 6 fra punktet vi fant i det opprinnelige planet.)

[Ostbågar]

Takk for svar, men har to oppgaver til her som jeg ikke får til..

1. To plan har x-aksen som skjæringslinje. P(2, -5, 1) er et punkt i det ene planet og Q(-2, 1, 0) er et punkt i det andre planet. Finn vinkelen mellom planene.

Da trenger jeg normalvektorene til planene, men hva vil det egentlig si at planene har x-aksen som skjæringslinje? At de krysser hverandre i et hvilket som helst punkt i x-aksen?



2. Et plan inneholder x-aksen og danner vinkelen 30grader med xy-planet (som da har normalvektor [0,0,1] )
Finn en ligning for planet (planet er ikke éntydig bestemt)

Noen hint?

[Vektormannen]

1. Ja, dette betyr at alle punktene som planene har felles, er på x-aksen. Er sikkert en illustrasjon på dette i boken din eller noe. For å finne en normalvektor trenger du tre punkt. Du vet allerede ett punkt i hvert plan, nemlig P og Q. Videre vet du at x-aksen skal være med i begge planene.

2. Denne kan sikkert gjøres på mange måter. Her kan du f.eks. finne et punkt i planet og deretter følge samme fremgangsmåte som i 1. For å finne et punkt bestemmer du først x- og y-koordinatene. Disse kan du velge fritt. Så gjenstår det å finne den tilsvarende z-koordinaten. Da bruker du at planet skal danne vinkelen 30 grader med xy-planet. Tegner du en figur så ser du at det betyr at [tex]z = \tan 30^\circ \cdot y[/tex].

Alternativt: du kan tegne en skisse med planene og normalvektoren du skal finne. Denne vet du skal danne 30 grader med z-aksen. Dette gir en enkel trekant. Hvis vi sier at z-komponenten er 1, da gir en trekantskisse at y-komponenten må være [tex]y = \tan 30^\circ \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

[HåpløsSOS]

Hei

Jeg sliter også med oppgave 2. Fasiten viser y + (kvadratoten av 3)z
V y - (kvadratoten av 3)z.

I forrige innlegg står det at normalvektoren til planet danner 30 grader med z-aksen? Hvordan kommer man frem til det? Sikkert et dumt spørsmål.

[Vektormannen]

Vinkelen mellom planet og xy-planet skal være 30 grader. Da må vinkelen mellom normalvektoren til planene også være 30 grader. Er du med på at normalvektoren til xy-planet er parallell med z-aksen?

[HåpløsSOS]

Aha Kan jeg få et hint til for å komme frem til riktig svar?

[Vektormannen]

Du kan basert på det ovenfor, finne en vektor i det nye planet. I tillegg vet du at x-aksen ligger i det, så da har du en annen vektor. Da kan du finne normalvektoren, og da går resten greit?

[HåpløsSOS]

Jeg finner dessverre ikke den andre vektoren.

[Vektormannen]

Vektoren [1,0,0] (for eksempel) må jo ligge i planet siden x-aksen ligger i planet!