R2 V12 Eksamen del 1 oppg

[Simen123]

Hei kan noen hjelpe meg å løse denne oppgaven?

opp 1) bestem intregralet

b) ∫x⋅e^x dx

og c ) Vis at [tex]\int_{3}^{7}\tfrac{2x}{x^2-4}dx=2\ln 3[/tex]


jeg bruker delvis integrasjon men får ikke riktig svar

Kan noen Plz forklare det detaljert?

[fuglagutt]

Prøv å bruke delbrøksoppspaltning

[Johan Nes]

Du har skrevet inn første oppgave feil om vi ser på samme eksamen. Mister herved min tex-jomfrudom.

b) [tex]\int x * e^2 dx[/tex]

[tex]x * \frac{1}{2} e^2x - \int 1 *\frac{1}{2} e^2x[/tex]

[tex]x * \frac{1}{2} e^2x -\frac{1}{2} *\frac{1}{2} e^2x + C[/tex]

[tex]\frac{1}{2} e^2x(x-\frac{1}{2})+ C[/tex]

Med forbehold om feil, da jeg synes det tok like mye tankekapasitet å henge med på TEXEN.

[Johan Nes]

Jeg foretrekker å bruke delbrøkoppspalting når jeg kan:

c) (2X/X^2 - 4) dx

X^2 - 4 faktoriserer vi slik: (x+2)(x-2)

Da blir uttrykket (2X/X^2 - 4) = A/X+2 + B(X-2) <--Ganger med fellesnevner (x+2)(x-2) og får:

2X = A(X-2) + B(X+2)

Nullpunktene blir -2 og 2:

-2 -> 2 * -2 = A(-2-2) + B(-2+2)

-4 = -4A + 0B

A = 1

2 -> 2 * 2 = A(2-2) + B(2+2)

4 = 0A + 4B

B = 1

Setter dette inn i integralet og får det nye uttrykket 1/(X+2) + 1(X-2) DX. Løser opp integralet og får:

LN (X +2) + LN (X-2)

Så setter vi dette inn i integralet slik du vet hvordan man skal gjøre og løser det bestemte integralet slik ved å sette inn verdiene over/under integraltegnet:

(LN 7+2 + LN 7-2) - (LN 3+2 + LN 3-2)

LN 9 + LN 5 - LN 5 - LN 1

LN 1 = 0 og faller bort

Da har vi LN 9 igjen som vi kan skrive LN 3^2 som vi igjen kan skrive som 2 LN 3. Voila!

[Nebuchadnezzar]

$\displaystyle \frac{2x}{x^2-4} = \frac{x + x}{(x-2)(x+2)}
= \frac{(x-2) + (x+2)}{(x-2)(x+2)}
= \frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)}
= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2}
$

[fuglagutt]

Digger de vakre omformingene dine, Nebu!

[Nebuchadnezzar]

Digger de unødvendige omformingene dine, Nebu!

$ \displaystyle
\int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{u}
= \log \left| x^2 - 4 \right| + \mathcal{C}
$

[fuglagutt]

Auda, den burde jeg ha sett selv ..