Trigonometriske likninger

[Jibe42]

Hei!

Har nettopp begynt med trigonometriske likninger og sliter litt.
Hadde satt stor pris på om du forklarte meg med teskje fremgangsmåten

[Dolandyret]

Hei!

Har nettopp begynt med trigonometriske likninger og sliter litt.
Hadde satt stor pris på om du forklarte meg med teskje fremgangsmåten

[tex]8*sin(\alpha )+4=0[/tex]

[tex]sin(\alpha )=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex]

Vi skal løse likningen for [tex]\alpha\in [0,2\pi>[/tex], dvs. alle løsninger for [tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex] i det første omløpet, altså fra og med 0 grader til 360 grader(men gi svaret i radianer). Jeg regner med du vet hvordan radianer fungerer i enhetssirkelen, ellers er det bare å spørre

[tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex]

[tex]\alpha=-\frac{1}{6}\pi[/tex]

Vi vet at sinusfunksjonen speiles om y-aksen. Om vi har en vinkel i [tex]-\frac{1}{6}\pi[/tex] må det derfor også være en vinkel i [tex]-\pi+\frac{1}{6}\pi=-\frac{5}{6}\pi[/tex]
Men, disse verdiene ligger jo utenfor definisjonsområdet våres. Vi skal jo finne løsninger for [tex]\alpha\in [0,2\pi>[/tex] og ikke [tex]\alpha\in [-2\pi,0>[/tex]. Derfor legger vi til [tex]2\pi[/tex] til løsningene våres slik at vi finner verdier innenfor definisjonsmengden innenfor det riktige omløpet.
Vi får derfor løsningene:
[tex]-\frac{1}{6}\pi +2\pi =\frac{11}{6}\pi[/tex]
og
[tex]-\frac{5}{6}\pi +2\pi =\frac{7}{6}\pi[/tex]

[LektorH]

Generelt: Når du løser en ligning kan du gjøre hva du vil, så lenge du gjør det samme på begge sidene. Du ønsker å få den ukjente alene, og for å klare dette gjør du det motsatte av det som gjør at den ukjente ikke står alene, og du gjør det i motsatt rekkefølge av den vanlige regnerekkefølgen.

[tex]8 \sin(\alpha)+4=0[/tex]

1: Addisjon/subtraksjon. Først er det +4 som gjør at [tex]\alpha[/tex] ikke står alene, så du trekker fra 4 på begge sidene:
[tex]8 \sin(\alpha)=-4[/tex]

2: Multiplikasjon/divisjon: Deler på 8 for å få [tex]\sin(\alpha)[/tex] alene
[tex]\sin(\alpha)=-\frac{1}{2}[/tex]

3: Logaritmer, potenser og andre funksjoner:
Nå som [tex]\sin[/tex] står alene kan vi bli kvitt den ved å ta den omvendte funksjonen på begge sidene.
[tex]\sin^{-1}(\sin(\alpha))=\sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex]
Sinus invers av sinus gir oss [tex]\alpha[/tex]
Så må vi finne alle de mulig løsningene. Grunnløsningen er [tex]\alpha_0=\sin^{-1}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}[/tex], og vi bruker regelen for ligninger med sinus, [tex]\alpha_1=\pi-\alpha_0[/tex], eller enhetsirkelen for å finne at en annen mulig løsning er [tex]\frac{7\pi}{6}[/tex].
Da er det uendelig mange løsninger på formen
[tex]\alpha=\left\{\begin{matrix} -\frac{\pi}{6}+2\pi n\\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n \end{matrix}\right.[/tex]
Der [tex]n[/tex] kan være alle mulige heltall

4: Parenteser: Hvis det hadde vært noe inne i parentesen sammen med [tex]\alpha[/tex] hadde vi fjernet det nå, men det er ikke det her.

Endelig løsning:
Vi skulle ha løsningene i første intervall, så det er [tex]\alpha_1=\frac{7\pi}{6}[/tex] og [tex]\alpha_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi \cdot 1=\frac{11\pi}{6}[/tex]

[Jibe42]

Hei!

Har nettopp begynt med trigonometriske likninger og sliter litt.
Hadde satt stor pris på om du forklarte meg med teskje fremgangsmåten

[tex]8*sin(\alpha )+4=0[/tex]

[tex]sin(\alpha )=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex]

Vi skal løse likningen for [tex]\alpha\in [0,2\pi>[/tex], dvs. alle løsninger for [tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex] i det første omløpet, altså fra og med 0 grader til 360 grader(men gi svaret i radianer). Jeg regner med du vet hvordan radianer fungerer i enhetssirkelen, ellers er det bare å spørre

[tex]\alpha =sin^{-1}(-\frac{1}{2})[/tex]

[tex]\alpha=-\frac{1}{6}\pi[/tex]

Vi vet at sinusfunksjonen speiles om y-aksen. Om vi har en vinkel i [tex]-\frac{1}{6}\pi[/tex] må det derfor også være en vinkel i [tex]-\pi+\frac{1}{6}\pi=-\frac{5}{6}\pi[/tex]
Men, disse verdiene ligger jo utenfor definisjonsområdet våres. Vi skal jo finne løsninger for [tex]\alpha\in [0,2\pi>[/tex] og ikke [tex]\alpha\in [-2\pi,0>[/tex]. Derfor legger vi til [tex]2\pi[/tex] til løsningene våres slik at vi finner verdier innenfor definisjonsmengden innenfor det riktige omløpet.
Vi får derfor løsningene:
[tex]-\frac{1}{6}\pi +2\pi =\frac{11}{6}\pi[/tex]
og
[tex]-\frac{5}{6}\pi +2\pi =\frac{7}{6}\pi[/tex]

Tusen hjertelig! Både til Dolandyret og LektorH!
Tar forkurs, som er nokså intensivt og læreren går veldig raskt i gjennom stoffet.
Derfor skader det ikke med en oppfriskning i enhetssirkelen!

Igjen, takk for oppklaringen!