Jeg aner ikke hvordan jeg skal gå frem her så håper jeg kan få litt hjelp.
Fasiten sier at man skal ta
(a1)^3 - (a2)^3 (1)
= (a1 - a2)( (a1)^2 + a1a2 + (a2)^2) (2)
= (a1 - a2) [((a1) + 1/2(a2))^2 + 3/4(a2)^2] (3)
Der a1 og a2 er nedfelte; a(nedfelt 1 el. 2) ikke multipl!
Jeg trenger en forklaring på hvordan man konkluderer med å ta (a1)^3 - (a2)^3 i utgansgpunktet ,hvordan man kommer fra 1 til 2 og hvordan man kommer fra 2 til 3. Her skjønner jeg lite, og spesielt hvordam man kommer fram til (3/4(a2))^2
I tillegg konkluderes det med at f er strengt voksende fordi hakeparantesen er positiv. Dette trenger jeg også forklart da uttrykket før a1 -a2 er negativt
Håper noen kan hjelpe. Takk
Vis at f(a) = a^3 er strengt voksende
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Noether
- Innlegg: 28
- Registrert: 24/09-2019 16:03
Konkrete oppgaven er: vis at x^3 er strengt voksende.
Hint; (x1)^3 - (x2)^3 = ((x1) - (x2))((x1)^2 + (x1)(x2) + (x2)^2)
= ((x1) - (x2)) [((x1) + 1/2(x2))^2 + 3/4(x2)^2]
Vet ikke om det ble forvirrende at jeg bruke a isteden for x, ville ikke tså det skulle misforstås med multipl.
Jeg ville også vist det med x^3 = 3x^2 som ikke kan være neg. og evt tatt f(x+h) - f(a) for å komme frem til det slik som man lærer i delkap. Men boka vil noe mer
Hint; (x1)^3 - (x2)^3 = ((x1) - (x2))((x1)^2 + (x1)(x2) + (x2)^2)
= ((x1) - (x2)) [((x1) + 1/2(x2))^2 + 3/4(x2)^2]
Vet ikke om det ble forvirrende at jeg bruke a isteden for x, ville ikke tså det skulle misforstås med multipl.
Jeg ville også vist det med x^3 = 3x^2 som ikke kan være neg. og evt tatt f(x+h) - f(a) for å komme frem til det slik som man lærer i delkap. Men boka vil noe mer
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Anta at $b>a$. Vi ønsker å vise at $f(b) > f(a)$. Resultatet er trivielt hvis $a=0$ eller $b=0$, så anta at $a\neq 0\neq b$. Da har vi at
$$f(b) - f(a) = b^3 - a^3 = (b - a)(a^2 + ab + b^2) > (b - a)(a^2 - 2|ab| + b^2) = (b-a)(|a| - |b|)^2 \geq 0,$$
så $f$ er strengt voksende.
$$f(b) - f(a) = b^3 - a^3 = (b - a)(a^2 + ab + b^2) > (b - a)(a^2 - 2|ab| + b^2) = (b-a)(|a| - |b|)^2 \geq 0,$$
så $f$ er strengt voksende.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Dette ble vel ikke helt riktig Dennis. Du ønsker å vise at $b>a$ medfører $f(b)>f(a)$, men det du viser er jo at $f(b) \geq f(a)$. Altså er ikke $x^3$ en strengt voksende funksjon (problemet er jo som Aleks sier i null).
Så her må du nok begrense definisjonsmengden til funksjonen til noe mindre enn $\mathbb{R}$ for at beviset ditt skal stemme =)
Så her må du nok begrense definisjonsmengden til funksjonen til noe mindre enn $\mathbb{R}$ for at beviset ditt skal stemme =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Feil. Beviset mitt viser streng ulikhet. Nøkkelen ligger i steget $(b-a)(a^2 +ab+b^2) > (b-a)(a^2 - 2|ab|+b^2)$ som gjelder for alle $a\neq 0\neq b$ hvor $b>a$ (og tilfellet hvor $a=0$ eller $b=0$ er allerede betraktet).Nebuchadnezzar skrev:Dette ble vel ikke helt riktig Dennis. Du ønsker å vise at $b>a$ medfører $f(b)>f(a)$, men det du viser er jo at $f(b) \geq f(a)$.
Også feil. Det er fullt mulig for en strengt voksende funksjon å ha $0$ som derivert i et punkt, som jo beviset illustrerer.Nebuchadnezzar skrev: Altså er ikke $x^3$ en strengt voksende funksjon (problemet er jo som Aleks sier i null).
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Ja, her legger jeg meg flat. Litt lenge siden jeg hadde om dette i matte 1.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk