Induksjon

[pushittothelimit]

Trenger litt hjelp med denne...

Vis ved induksjon at

[tex]\sum_{k=1}^{n-1}k^{3}\leq\frac{n^{4}}{4}\leq\sum_{k=1}^{n}k^{3} for n \in \aleph[/tex]

1. Induksjonsgrunnlaget: (n=1)

[tex]\sum_{k=1}^{1-1}k^{3}\leq\frac{1^{4}}{4}\leq\sum_{k=1}^{1}k^{3}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{0}k^{3}\leq\frac{1}{4}\leq1^{3}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{0}k^{3}\leq\frac{1}{4}\leq1[/tex]

Er alt rett så langt?

[tex]\sum_{k=1}^{0}k^{3}[/tex] - Dette gir ikke mening, eller hur?

Jeg er helt sikkert på blåbær tur.

[Markonan]

Har faktisk aldri vært borti et tilfelle der du har null i summen på den måten, men det må vel bare bety at hele summen blir null, siden du summerer null ledd.

[pushittothelimit]

Ja, jeg sjekket noen notater jeg har fra en forelesning, og der har jeg ett lignende tilfellet og rekken til venstre blir 0, men jeg forstår ikke hvorfor det er slik. Dumt at jeg ikke la merke til det under forelesningen å spurte, men men.

Hvordan kan man ha en rekke fra ledd 1 til 0, fra ledd 0 til 1 er greit, men det motsatte blir for sprøtt.

Tror bare jeg får akseptere det for nå, og regne noen oppgaver. Får ta meg en tur opp til foreleseren min på mandag.

Hvis noen kan forklare dette for meg hadde det vært supert!

[Markonan]

Er veldig merkelig notasjon... og Wolfram Alpha er uenig. Copy paste hele:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... %2C+k^3%29

[Nebuchadnezzar]

Og maple er uenig med wolfram... Om jeg skulle begynt på en slik oppgave ville jeg ha omskrevet det til:

[tex] \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{k^3} \le \frac{1}{4}{n^4} \le } \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} [/tex]

[tex] \frac{1}{4}{n^2}{\left( {n - 1} \right)^2}\, \le \, \frac{1}{4}{n^4} \, \le \, \frac{1}{4}{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} [/tex]

Herfra blir vell induksjonen barnemat Så utfordringen til deg blir vell å vise omformingen av uttrykket.

[pushittothelimit]

Jeg klarte selvfølgelig å redigere og miste alt jeg skrev her! Argh! Orker ikke og skriv det en til gang...

EDIT: Jeg orket! Se ned...

[Nebuchadnezzar]

Siste linjen din blir jo feil, om du ser litt nøyere på den ser du med en gang at venstre side er større enn høyre side, og dette stemmer åpenbart ikke.

Men resten ser bra ut...

[tex]\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3} \,=\, \frac{1}{4}{n^4} + \frac{1}{2}{n^3} + \frac{1}{4}{n^2} \,= \,\frac{1}{4}{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}[/tex]

[pushittothelimit]

Jeg ser noe annet...

[tex]\sum_{k=1}^{n}{k^3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}[/tex]



Jeg henger ikke helt med her...

[Nebuchadnezzar]

http://www.math.com/tables/expansion/power.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Summation

Det jeg uttrykte var delsummen, hvordan man finner den er litt tricky, men Janhaa hadde en fin en.

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=24913

Kanskje du burde se litt nærmere på summen av aritmetiske og geometriske rekker. Altså uttrykke disse rekkene uten bruk av sigma

[pushittothelimit]

Takk for infoen, men kan ikke denne oppgaven løses uten å se for mye på selve rekken? Jeg skal se nærmere på det... (Se helt nederst, har prøvt)

Jeg klarte å slette det jeg hadde skrevet oven for, så her er oppgaven og det jeg skrev med litt forandring...

Vis ved induksjon at
[tex]\sum_{k=1}^{n-1}k^{3}\leq\frac{n^{4}}{4}\leq\sum_{k=1}^{n}k^{3} for n \in \aleph[/tex]

Ser på ulikheten til venstre:
[tex]\sum_{k=1}^{n-1}k^{3}\leq\frac{n^{4}}{4}[/tex]

1. Induksjonsgrunnlaget: n=1

[tex]\sum_{k=1}^{1-1}k^{3}\leq\frac{1^{4}}{4}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{0}k^{3}\leq\frac{1}{4}[/tex]

[tex]0\leq\frac{1}{4}[/tex] OK!

Note:
Fant en regel som sier:
Hvis [tex]b<a[/tex]
[tex]\sum_{k=a}^{b}(...)=0[/tex]

2. Induksjonstrinnet: n=a
VET: [tex]\sum_{k=1}^{a-1}k^{3}\leq\frac{a^{4}}{4}[/tex]

Må vise at dette gjelder for n=a+1 også...

SKAL VISE: [tex]\sum_{k=1}^{(a+1)-1}k^{3}\leq\frac{(a+1)^{4}}{4}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{a}k^{3}\leq\frac{(a+1)^{4}}{4}[/tex] (*1)

Note:
VET: [tex]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(a-1)^{3}[/tex]
SKAL VISE: [tex]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(a)^{3}[/tex]

Legger til [tex]a^{3}[/tex] på begge sider av "VET":

[tex]\sum_{k=1}^{a-1}k^{3}+a^{3}\leq\frac{a^{4}}{4}+a^{3}[/tex]

Da har jeg at:

[tex]\sum_{k=1}^{a}k^{3}=\sum_{k=1}^{a-1}k^{3}+a^{3}[/tex]

Som vil si...

[tex]\sum_{k=1}^{a}k^{3}\leq\frac{a^{4}}{4}+a^{3}[/tex] (*2)

Nå vett jeg altså ikke hvordan jeg skal bruke (*1) og (*2) til å komme videre...


EDIT:


Så nå på din omskriving av rekken, det blir mye lettere, etter man har gjort det. Hmmm, kanskje jeg bør fokusere på det heller.

Jeg kom fra til: (Venstre ulikhet)

[tex]a^{2}\leq a^{2}+2a+1[/tex] OK!

Da er det bare til å gjøre det samme for høyre ulikhet og se at det stemmer også...

Men hvis man tar vekk rekke symbolet da kan vel a også være et negativt tall, og det vil jo si at det som er skrevet oven for ikke stemmer, forstår du hva jeg mener? Eller tar jeg helt feil?

[Gustav]

Det er feil å bruke notasjonen [tex]\aleph[/tex] for naturlige tall siden dette vanligvis betegner kardinaliteten til en eller annen uendelig mengde, alt ettersom indeksen på [tex]\aleph[/tex], [tex]\aleph_0[/tex] er kardinaliteten til mengden av naturlige tall. Bruk heller [tex]\mathbb{N}[/tex] for mengden av naturlige tall.


Du kan bruke at for positive tall [tex]a[/tex] er

[tex](a+1)^4=a^4+4a^3+r[/tex] der [tex] r>0[/tex]. Da følger det at


[tex](a+1)^4\geq a^4+4a^3[/tex]

[drgz]

1. Induksjonsgrunnlaget: n=1

[tex]\sum_{k=1}^{1-1}k^{3}\leq\frac{1^{4}}{4}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{0}k^{3}\leq\frac{1}{4}[/tex]

[tex]0\leq\frac{1}{4}[/tex] OK!

[tex]\sum_{k=1}^0 k^3 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^1 k^3 = 1[/tex]

1 > 1/4

[pushittothelimit]

Det er feil å bruke notasjonen [tex]\aleph[/tex] for naturlige tall siden dette vanligvis betegner kardinaliteten til en eller annen uendelig mengde, alt ettersom indeksen på [tex]\aleph[/tex], [tex]\aleph_0[/tex] er kardinaliteten til mengden av naturlige tall. Bruk heller [tex]\mathbb{N}[/tex] for mengden av naturlige tall.

Fant ikke [tex]\mathbb{N}[/tex] så jeg brukte [tex]\aleph[/tex].

[tex]\sum_{k=1}^0 k^3 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^1 k^3 = 1[/tex]

1 > 1/4

Hmmm. Er du sikker?

---------------------------------------------------

Jeg får ikke til denne oppgaven, eller jeg forstår ikke helt hva jeg skal gjøre. Ved "Nebuchadnezzar metode" kan jeg bevise det, men hvordan skal jeg først klare å omskrive som vist her:

[tex] \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{k^3} \le \frac{1}{4}{n^4} \le } \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} [/tex]

[tex] \frac{1}{4}{n^2}{\left( {n - 1} \right)^2}\, \le \, \frac{1}{4}{n^4} \, \le \, \frac{1}{4}{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} [/tex]

Jeg så linkene ovenfor, men jeg er ikke helt sikker på hvordan man skal gå frem for andre varianter...

[Nebuchadnezzar]

Jeg sa jo at det var omformingen av uttrykket som kom til å bli problemet ^^ Kan gi deg et hint...

Summen av de første tallene

[tex] \sum^{n}_{k=1}k \, = \, 1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, ... \, n \, = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Denne burde sitte spikret i hodet ditt.

[tex]\sum^{n}_{k=1}k^3 \, = \, 1^3 \, + \, 2^3 \, + \, 3^3 \, + \, 4^3 \, ... \, n \, = \, (1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, .... \, + \, n) ^2[/tex]

Klarer du resten ?

EDIT: Trenger du å bevise den formelen ? Kan du ikke bare vise at den stemmer med induksjon ?

http://www.9math.com/book/sum-cubes-fir ... al-numbers

[drgz]

Hmmm. Er du sikker?

Ja. Addisjon er en kommutativ operator, dvs at [tex]\forall (x,y)\in\mathbb{R}: x+y=y+x[/tex]. Med andre ord spiller ikke rekkefølgen på addisjonen noe.

Du har:

[tex]\sum_{k=1}^0 k^3 = 1^3 + 0^3 = 1[/tex]
Dette er det samme som

[tex]\sum_{k=0}^1 k^3 = 0^3 + 1^3 = 1[/tex].

Husk at når du summerer så summerer du fra og med indeks [tex]k = m[/tex] til og med indeks [tex]k=n[/tex], der [tex]m=0, n =1[/tex] hvis du skal sjekke "induksjonsgrunnlaget" ditt med [tex]n = 1[/tex].

Du kan også sjekke dette ved å skrive inn i WolframAlpha:

"sum k = 0 to 1 k^3", eventuelt "sum k = 1 to 0 k^3", som begge gir 1 som svar.