Induksjon

[pushittothelimit]

Jeg fant ut av det! Woho!

Jeg VET at [tex]\sum_{k=1}^{a}k^{3}\leq\frac{a^{4}}{4}+a^{3}[/tex] og jeg VIL VISE at [tex]\sum_{k=1}^{a}k^{3}\leq\frac{(a+1)^{4}}{4}[/tex], da må jeg bare vise at [tex]\frac{a^{4}}{4}+a^{3}\leq\frac{(a+1)^{4}}{4}[/tex].

Som stemmer, og det blir lignende på "høyre" ulikhet.

Dette brukte jeg x (confidential) antall timer på å finne ut av.

Takk alle sammen. Jeg burde ha funnet ut av det tidligere.

Jeg sa jo at det var omformingen av uttrykket som kom til å bli problemet ^^ Kan gi deg et hint...

Summen av de første tallene

[tex] \sum^{n}_{k=1}k \, = \, 1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, ... \, n \, = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Denne burde sitte spikret i hodet ditt.

Det gjør jeg. (Første induksjons oppgave jeg gjorde.)

[tex]\sum^{n}_{k=1}k^3 \, = \, 1^3 \, + \, 2^3 \, + \, 3^3 \, + \, 4^3 \, ... \, n \, = \, (1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, .... \, + \, n) ^2[/tex]

Klarer du resten ?

Nei! For å være helt ærlig forstår jeg heller ikke hva du har gjort ovenfor heller. Jeg skal se om jeg finner ut av dette, det er mye enklere å gjøre oppgaven denne veien om man klarer å omskrive som deg.

EDIT: Trenger du å bevise den formelen ? Kan du ikke bare vise at den stemmer med induksjon ?

http://www.9math.com/book/sum-cubes-fir ... al-numbers

Dette forstår jeg.

[pushittothelimit]

Hmmm. Er du sikker?

Ja. Addisjon er en kommutativ operator, dvs at [tex]\forall (x,y)\in\mathbb{R}: x+y=y+x[/tex]. Med andre ord spiller ikke rekkefølgen på addisjonen noe.

Du har:

[tex]\sum_{k=1}^0 k^3 = 1^3 + 0^3 = 1[/tex]
Dette er det samme som

[tex]\sum_{k=0}^1 k^3 = 0^3 + 1^3 = 1[/tex].

Husk at når du summerer så summerer du fra og med indeks [tex]k = m[/tex] til og med indeks [tex]k=n[/tex], der [tex]m=0, n =1[/tex] hvis du skal sjekke "induksjonsgrunnlaget" ditt med [tex]n = 1[/tex].

Du kan også sjekke dette ved å skrive inn i WolframAlpha:

"sum k = 0 to 1 k^3", eventuelt "sum k = 1 to 0 k^3", som begge gir 1 som svar.

Jeg forstår hva du sier, men...

Hvis det du sier er sant da stemmer jo ikke induksjonsgrunnlaget, og derfor er "påstanden" feil. Q.E.D.?

[drgz]

Jeg forstår hva du sier, men...

Hvis det du sier er sant da stemmer jo ikke induksjonsgrunnlaget, og derfor er "påstanden" feil. Q.E.D.?

Kanskje du skal ta utgangspunkt i et annet "induksjonsgrunnlag"? Det er ingenting som hindrer deg i å bruke noe annet enn n = 1 som start.

[pushittothelimit]

Jeg forstår hva du sier, men...

Hvis det du sier er sant da stemmer jo ikke induksjonsgrunnlaget, og derfor er "påstanden" feil. Q.E.D.?

Kanskje du skal ta utgangspunkt i et annet "induksjonsgrunnlag"? Det er ingenting som hindrer deg i å bruke noe annet enn n = 1 som start.

Ok, jeg ser at det faktisk stemmer for n = 2, men rekken starter jo med k = 1, så da burde jo også det stemme... (Jeg har ingen peiling på hva jeg snakker om)

Hva hvis man prøver seg på induksjonsgrunnlaget med n = 1, n = 2, osv, men så er det en verdi for n som du ikke har testet som fungere. Da vil man jo si at påstanden er feil, mens den egentlig er korrekt?

Jeg får bare akseptere hva du sier. Skal huske det du sa om rekker, når jeg måter lignende problem.