Undersøk om rekken konvergerer

[pushittothelimit]

Undersøk om rekken konvergerer:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^{3}}[/tex]

Sjekker:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n^{3}}=0[/tex]

Det betyr at rekken kan konvergere, men det må sjekkes:

[tex]\int_{1}^{\infty} \frac{n-1}{n^{3}}[/tex]

Her trenger jeg litt hjelp, med integrasjonen, har prøvt litt med substitusjon, men sitter fast. Noen som vil gi ett hint, og er det noen andre metoder man kan løse dette på?

Takk.

[Stone]

[tex]\frac{n-1}{n^3}=\frac{n}{n^3} - \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}[/tex]

[pushittothelimit]

Den så jeg ikke.

Integrasjonen min er meget rusten.

Takker, skal se om jeg får det til nå.

[pushittothelimit]

Da ente jeg opp med at det bestemte integralet ble: 0,5

Som jeg tolker som at integralet konvergerer så konvergerer også rekken, og dette vil si at grenseverdien til rekken er 0.

Er dere enige eller er jeg helt på blåbærtur i dag?

[Gommle]

1/2 er korrekt.

[pushittothelimit]

Takker.

Denne tråden kan stenges.

[Nebuchadnezzar]

Du sier at grenseverdien blir null. Det tolker jeg slik at du mener at rekken konverger mot 0, men dette stemmer jo ikke.

Men du har gjort det helt riktig med å finne ut om rekken konvergerer eller ikke ^^

[pushittothelimit]

Jeg påstår at:

Siden det ubestemte integralet ble 0,5 så konvergerer rekken, 0,5 er summen av alle ledd i rekken. En rekke som konvergerer MÅ ha en grenseverdi som er 0, for hvis ikke vil den være voksende/avtagende i det uendelige. Her kan man ikke tenke som man gjør når man finner grenseverdien til en funksjon eller følge.

Enig eller uenig?

[Nebuchadnezzar]

Nå er jeg langt ifra noen guru på dette område så jeg bare skriver det jeg syntes om påstandene dine ^^

Siden det ubestemte integralet ble 0,5 så konvergerer rekken,

Enig

0,5 er summen av alle ledd i rekken.

Uenig http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28n-1%29%2Fn^3

n rekke som konvergerer MÅ ha en grenseverdi som er 0, for hvis ikke vil den være voksende/avtagende i det uendelige. Her kan man ikke tenke som man gjør når man finner grenseverdien til en funksjon eller følge.

Enig ^^

[pushittothelimit]

0,5 er summen av alle ledd i rekken.

Uenig http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28n-1%29%2Fn^3

Har sett litt i boken min nå, hvor det står omtrent:

Hvis [tex]\int_{1}^{\infty}f(x)dx[/tex] konvergerer, da konvergerer rekken, [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}[/tex], når [tex]f(x)=a_{n}[/tex].

Det står ingenting om selve tallet man får fra integrasjonen.

Da kommer jeg med en ny påstand:
Tallet man får fra integrasjonen er egentlig ikke viktig i det hele tatt, utennom at det er forskjellig fra [tex]-\infty[/tex] og [tex]\infty[/tex].

Da regner jeg med at vi er enige.

Takk for hjelpen!

[FredrikM]

En rekke som konvergerer MÅ ha en grenseverdi som er 0, for hvis ikke vil den være voksende/avtagende i det uendelige.

Nei. *Leddene* i rekken må gå mot null, og ikke rekken selv.

[pushittothelimit]

Ja, enig.