mattematisk utgreielse om V-fall ved cos og sin

[gill]

Jeg har en oppgave hvor svaret på et spenningsfall over en kondensatoren skal regnes ut.

I fasit bruker de Kirchoffs kretsregel. Deretter finner de et uttrykk for V i kondensatoren på sin og cos:

[tex]V=V_ssin(\omega x) +V_ccos(\omega x)[/tex]

Hvordan kommer de fram til dette?

Oppgave 1c. Her er link:
https://acrobat.com/app.html#d=cLLL*zVjKS6yMokXHH2ueg

Svar:

https://acrobat.com/app.html#d=W3h1pqqmXEl5PVT80Y5RGg

[drgz]

De skriver at de bare antar den formen, noe som kan rettferdiggjøres med at spenningen på utgangen vil være faseforskyvet i forhold til spenningen på inngangen (fra generatoren). Ettersom utgangen nå har en fase, kan den dekomponeres til summen av en sinus og en cosinus med forskjellige amplituder (ved bruk av at Asin(x+d) = Bcos(x)+Csin(x), der A = sqrt(B^2+C^2) og d=atan(C/D)).

[gill]

Kan dette vises mattematisk. Jeg sliter litt med å se det for meg. Spenningen på utgangen er det spenningen til kondensatoren?

[claudius]

Det matematiske "beviset" du etterlyser består vel enklest i å finne stasjonære løsninger på ligningen [tex]Ri +\frac{1}{C} \int^t_0 i\mathrm d t = \mathcal{E}[/tex]

(Det er naturlig å anta i(0) = 0 og U[sub]C[/sub](0) = 0)

Da blir spenningen over kondensatoren:
[tex] U_C = \mathcal{E} - R\, i_{stasj}[/tex]

[gill]

iR vil ta noe av volt inn i krets som vist i kirchoffs.

At V i C er faseforskyvet er fordi den må fylle opp Q først for å få volt og V til C vil ha en fase bak V inn i systemet. Men i uttrykket med cos og sin prøvde jeg å utgreie det sin og cos uttrykket claudeshannon skrev

Asin(a+b)=Bcosa+Csina

med:



sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

uten suksee. Kan den utgreies. Og hvordan går man videre til

[tex]V=V_ssin(\omega x) +V_ccos(\omega x)[/tex]?

[drgz]

[tex]A\sin(x)+B\cos(x) = c(A/c)\sin(x)+c(B/c)\cos(x)[/tex], der[tex] c = sqrt{A^2+B^2}[/tex]

Dette er det samme som

[tex]k\left(\cos(d)\sin(x)+\cos(x)\sin(d)\right) = k\sin(x+d)[/tex], der man har

[tex]\sin(d) = B/c[/tex] og [tex]\cos(d) = A/c[/tex]

slik at [tex]d = \tan^{-1}(B/A)[/tex]