dy/dt = -y/(100 + t) , der y(0) = 1000
Hvordan løser jeg denne difflikningen? Jeg vet det sikkert er utrolig enkelt, men jeg er skikkelig sliten i hodet, og greier ikke finne det ut..
Enkel difflikning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\frac{dy}{dt} = -\frac{y}{100+t}[/tex]
[tex]\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{100+t}[/tex]
[tex]\int {\frac{1}{y} \cdot \frac{{dy}}{{dt}}} dt = - \int {\frac{1}{{100 + t}}} dt[/tex]
[tex]\int {\frac{1}{y}} dy = - \int {\frac{1}{{100 + t}}} dt[/tex]
[tex]\ln (y) = - \ln (100 + t) + C[/tex]
[tex]{e^{\ln (y)}} = {e^{\ln {{(100 + t)}^{ - 1}} + C}}[/tex]
[tex]y = {(100 + t)^{ - 1}} \cdot {e^C}[/tex]
[tex]y = \frac{1}{{100 + t}} \cdot C[/tex]
[tex]y = \frac{C}{{100 + t}}[/tex]
[tex]y(0) = 1000[/tex]
[tex]1000 = \frac{C}{{100}}[/tex]
[tex]C = {10^5}[/tex]
blri derfor: [tex]y(t) = \frac{{{{10}^5}}}{{100 + t}}[/tex]
Bør kontrollere med fasit da jeg rusha litt gjennom her
[tex]\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{100+t}[/tex]
[tex]\int {\frac{1}{y} \cdot \frac{{dy}}{{dt}}} dt = - \int {\frac{1}{{100 + t}}} dt[/tex]
[tex]\int {\frac{1}{y}} dy = - \int {\frac{1}{{100 + t}}} dt[/tex]
[tex]\ln (y) = - \ln (100 + t) + C[/tex]
[tex]{e^{\ln (y)}} = {e^{\ln {{(100 + t)}^{ - 1}} + C}}[/tex]
[tex]y = {(100 + t)^{ - 1}} \cdot {e^C}[/tex]
[tex]y = \frac{1}{{100 + t}} \cdot C[/tex]
[tex]y = \frac{C}{{100 + t}}[/tex]
[tex]y(0) = 1000[/tex]
[tex]1000 = \frac{C}{{100}}[/tex]
[tex]C = {10^5}[/tex]
blri derfor: [tex]y(t) = \frac{{{{10}^5}}}{{100 + t}}[/tex]
Bør kontrollere med fasit da jeg rusha litt gjennom her
Det stemmer med fasiten ja. Tusen takk for hjelpen! Som jeg trodde, så var det en enkel og grei fremgangsmåte 