Derivasjonsspørsmål

[krje1980]

Hei.

Har kommet over en derivasjon i boken som jeg ikke helt forstår:

The Emden-Fowler equation is

[tex]({\xi^2}{\eta^\prime})^\prime + {\xi^{\lambda}}{\eta^n} = 0[/tex]

or

[tex]2 \xi \eta^\prime + {\xi^2} \eta^{\prime \prime} + {\xi^{\lambda}}{\eta^n} = 0[/tex]

Let

[tex]x = \frac{\xi \eta^\prime}{\eta}[/tex],

[tex]t = ln|\xi|[/tex]

Then, since [tex]\dot{\xi} = \xi[/tex],

[tex]\dot{x} = \frac{\dot{\xi} \eta^\prime}{\eta} + \frac{\eta \eta^{\prime \prime} \dot{\xi}}{\eta} - \frac{\xi (\eta^\prime)^2 \dot{\xi}}{\eta^2}[/tex]

[tex]= \frac{\xi \eta^\prime}{\eta} + \frac{\xi^2 \eta^{\prime \prime}}{\eta} - \frac{\xi^2 (\eta^\prime)^2}{\eta^2}[/tex]


Jeg henger virkelig ikke med på disse to siste uttrykkene. Ser jo at [tex]\dot{\xi} = \x[/tex] ettersom [tex]\xi = e^t[/tex], men utover dette klarer jeg ikke å se hva boken gjør. Har prøvd med både kjerneregel og derivasjon med brøk, men klarer ikke å se hvordan man kommer frem til dette. Følger meg normalt svært komfortabel med derivering, men her setter jeg stor pris på om noen kan vise litt mer detaljer i utregningen enn det boken gir

[espen180]

Jeg henger ikke engang med på første overgang.

Hvis [tex]\xi = e^t[/tex] burde vel [tex](\xi^2\eta^\prime)^\prime = \xi^2\eta^{\prime\prime}[/tex], ikke [tex]2\xi \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex], og selv for en generell [tex]\xi[/tex] ville vel det riktige uttrykket være [tex]2\xi \xi^\prime \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex].

[krje1980]

Husk at den første deriveringen ikke er med hensyn på tid (som jo er representert med prikk-tegnet). Jeg tror det er dette som er årsaken til dette. Men er enig i at hele greien er forvirrende.

Uansett så er dette kopiert direkte fra boken. Har dog aldri vært borti en pensumbok med så mange typos i som denne. Og det er typos/feil både i tekstbok og i fasit. Det er sinnsykt irriterende. Satt i dag i 30 minutter for å finne et senterpunkt ettersom det var dette fasiten sa jeg skulle finne i en oppgave. Jeg fikk imidlertid svaret til å bli node. Til slutt plottet jeg oppgaven i MatLab, og fant da ut at jeg hadde rett!

[Gustav]

Hei,

det som kanskje er forvirrende i denne oppgaven er at [tex]\eta[/tex] og [tex]x[/tex] er funksjonene, mens [tex]\xi[/tex] og [tex]t[/tex] er variablene man deriverer mhp på: [tex]\eta^,[/tex] betyr altså derivasjon mhp [tex]\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}[/tex] derivasjon mhp t.


[tex]x = \frac{\xi \eta^\prime}{\eta}[/tex]. Produktregelen gir at

[tex]\dot{x}=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi\frac{d}{dt}(\frac{\eta^,}{\eta})=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi(\frac{\dot{\eta}^,}{\eta}-\frac{\eta^,\dot{\eta}}{\eta^2})[/tex]

Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]




EDIT: Mangler det ikke et 2-tall foran [tex]\xi\frac{\eta^,}{\eta}[/tex], tro...

Jeg får ihvertfall at

[tex]\dot{x}=2\xi\frac{\eta^,}{\eta}+\frac{\xi^2\eta^{,,}}{\eta}-\frac{\xi^2(\eta^,)^2}{\eta^2}[/tex]

[krje1980]

Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]

Takk skal du ha! Nå henger jeg med på alt utenom identiteten du bruker her. Hvordan kjenner du til denne?

Ellers er det godt mulig at det skal være et 2 i det endelige svaret, ja. Som sagt, så er ikke fasiten alltid til å stole på!

[drgz]

Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]

Takk skal du ha! Nå henger jeg med på alt utenom identiteten du bruker her. Hvordan kjenner du til denne?

Det er vanlig kjerneregel og implisitt derivasjon(?) eller hva det heter (alt for mange år siden til at jeg husker navnet).

[tex]\dot{\eta} = \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac{\partial \eta}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} = \eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex]

og

[tex] \dot{\eta}^, = \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial\eta}{\partial t}\right) = \frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\partial\eta}{\partial\xi}\xi\right)=\frac{\partial^2\eta}{\partial\xi^2}\xi+\frac{\partial\eta}{\partial\xi} = \eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]

(muligens det skal være [tex]\mathrm{d}/\mathrm{d}[/tex] og ikke [tex]\partial/\partial[/tex], men poenget er det samme;)).

[krje1980]

Tusen takk, claudeShannon. Nå er jeg med .

Dette var imidlertid en STYGG deriveringsoppgave. Håper ikke det blir så mye av dette fremover