Hei.
Har kommet over en derivasjon i boken som jeg ikke helt forstår:
The Emden-Fowler equation is
[tex]({\xi^2}{\eta^\prime})^\prime + {\xi^{\lambda}}{\eta^n} = 0[/tex]
or
[tex]2 \xi \eta^\prime + {\xi^2} \eta^{\prime \prime} + {\xi^{\lambda}}{\eta^n} = 0[/tex]
Let
[tex]x = \frac{\xi \eta^\prime}{\eta}[/tex],
[tex]t = ln|\xi|[/tex]
Then, since [tex]\dot{\xi} = \xi[/tex],
[tex]\dot{x} = \frac{\dot{\xi} \eta^\prime}{\eta} + \frac{\eta \eta^{\prime \prime} \dot{\xi}}{\eta} - \frac{\xi (\eta^\prime)^2 \dot{\xi}}{\eta^2}[/tex]
[tex]= \frac{\xi \eta^\prime}{\eta} + \frac{\xi^2 \eta^{\prime \prime}}{\eta} - \frac{\xi^2 (\eta^\prime)^2}{\eta^2}[/tex]
Jeg henger virkelig ikke med på disse to siste uttrykkene. Ser jo at [tex]\dot{\xi} = \x[/tex] ettersom [tex]\xi = e^t[/tex], men utover dette klarer jeg ikke å se hva boken gjør. Har prøvd med både kjerneregel og derivasjon med brøk, men klarer ikke å se hvordan man kommer frem til dette. Følger meg normalt svært komfortabel med derivering, men her setter jeg stor pris på om noen kan vise litt mer detaljer i utregningen enn det boken gir
Derivasjonsspørsmål
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg henger ikke engang med på første overgang.
Hvis [tex]\xi = e^t[/tex] burde vel [tex](\xi^2\eta^\prime)^\prime = \xi^2\eta^{\prime\prime}[/tex], ikke [tex]2\xi \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex], og selv for en generell [tex]\xi[/tex] ville vel det riktige uttrykket være [tex]2\xi \xi^\prime \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex].
Hvis [tex]\xi = e^t[/tex] burde vel [tex](\xi^2\eta^\prime)^\prime = \xi^2\eta^{\prime\prime}[/tex], ikke [tex]2\xi \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex], og selv for en generell [tex]\xi[/tex] ville vel det riktige uttrykket være [tex]2\xi \xi^\prime \eta^\prime + \xi^2 \eta^{\prime\prime}[/tex].
Husk at den første deriveringen ikke er med hensyn på tid (som jo er representert med prikk-tegnet). Jeg tror det er dette som er årsaken til dette. Men er enig i at hele greien er forvirrende.
Uansett så er dette kopiert direkte fra boken. Har dog aldri vært borti en pensumbok med så mange typos i som denne. Og det er typos/feil både i tekstbok og i fasit. Det er sinnsykt irriterende. Satt i dag i 30 minutter for å finne et senterpunkt ettersom det var dette fasiten sa jeg skulle finne i en oppgave. Jeg fikk imidlertid svaret til å bli node. Til slutt plottet jeg oppgaven i MatLab, og fant da ut at jeg hadde rett!
Uansett så er dette kopiert direkte fra boken. Har dog aldri vært borti en pensumbok med så mange typos i som denne. Og det er typos/feil både i tekstbok og i fasit. Det er sinnsykt irriterende. Satt i dag i 30 minutter for å finne et senterpunkt ettersom det var dette fasiten sa jeg skulle finne i en oppgave. Jeg fikk imidlertid svaret til å bli node. Til slutt plottet jeg oppgaven i MatLab, og fant da ut at jeg hadde rett!
Hei,
det som kanskje er forvirrende i denne oppgaven er at [tex]\eta[/tex] og [tex]x[/tex] er funksjonene, mens [tex]\xi[/tex] og [tex]t[/tex] er variablene man deriverer mhp på: [tex]\eta^,[/tex] betyr altså derivasjon mhp [tex]\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}[/tex] derivasjon mhp t.
[tex]x = \frac{\xi \eta^\prime}{\eta}[/tex]. Produktregelen gir at
[tex]\dot{x}=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi\frac{d}{dt}(\frac{\eta^,}{\eta})=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi(\frac{\dot{\eta}^,}{\eta}-\frac{\eta^,\dot{\eta}}{\eta^2})[/tex]
Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]
EDIT: Mangler det ikke et 2-tall foran [tex]\xi\frac{\eta^,}{\eta}[/tex], tro...
Jeg får ihvertfall at
[tex]\dot{x}=2\xi\frac{\eta^,}{\eta}+\frac{\xi^2\eta^{,,}}{\eta}-\frac{\xi^2(\eta^,)^2}{\eta^2}[/tex]
det som kanskje er forvirrende i denne oppgaven er at [tex]\eta[/tex] og [tex]x[/tex] er funksjonene, mens [tex]\xi[/tex] og [tex]t[/tex] er variablene man deriverer mhp på: [tex]\eta^,[/tex] betyr altså derivasjon mhp [tex]\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}[/tex] derivasjon mhp t.
[tex]x = \frac{\xi \eta^\prime}{\eta}[/tex]. Produktregelen gir at
[tex]\dot{x}=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi\frac{d}{dt}(\frac{\eta^,}{\eta})=\dot{\xi}\frac{\eta^,}{\eta}+\xi(\frac{\dot{\eta}^,}{\eta}-\frac{\eta^,\dot{\eta}}{\eta^2})[/tex]
Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]
EDIT: Mangler det ikke et 2-tall foran [tex]\xi\frac{\eta^,}{\eta}[/tex], tro...
Jeg får ihvertfall at
[tex]\dot{x}=2\xi\frac{\eta^,}{\eta}+\frac{\xi^2\eta^{,,}}{\eta}-\frac{\xi^2(\eta^,)^2}{\eta^2}[/tex]
Takk skal du ha! Nå henger jeg med på alt utenom identiteten du bruker her. Hvordan kjenner du til denne?plutarco skrev:Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]
Ellers er det godt mulig at det skal være et 2 i det endelige svaret, ja. Som sagt, så er ikke fasiten alltid til å stole på!
Det er vanlig kjerneregel og implisitt derivasjon(?) eller hva det heter (alt for mange år siden til at jeg husker navnet).krje1980 skrev:Takk skal du ha! Nå henger jeg med på alt utenom identiteten du bruker her. Hvordan kjenner du til denne?plutarco skrev:Deretter bruker vi at [tex]\dot{\eta}=\eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex], og [tex]\dot{\eta}^,=\eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]
[tex]\dot{\eta} = \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac{\partial \eta}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} = \eta^,\dot{\xi}=\eta^,\xi[/tex]
og
[tex] \dot{\eta}^, = \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial\eta}{\partial t}\right) = \frac{\partial}{\partial\xi}\left(\frac{\partial\eta}{\partial\xi}\xi\right)=\frac{\partial^2\eta}{\partial\xi^2}\xi+\frac{\partial\eta}{\partial\xi} = \eta^{,,}\xi+\eta^,[/tex]
(muligens det skal være [tex]\mathrm{d}/\mathrm{d}[/tex] og ikke [tex]\partial/\partial[/tex], men poenget er det samme;)).