Uniform kontinuitet på ikke-fullt-så-fin funksjon

[Kake med tau]

Hei!

I en oppgave skal jeg avgjøre om følgende funksjon er uniformt kontinuerlig
[tex]\large f(x)=\left\{{\text{-x, for -1\leq x< 0}\atop\text{x^2, 0\leq x\leq 1}}\right[/tex]


Av definisjonen så er f kontinuerlig om følgende er oppfylt:
[tex]\forall \epsilon>0 \exist \delta>0 : {x, y \in I, og 0<|x-y|<\delta} \rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]

Hittil definerer jeg I=[-1, 1], og da kan jeg si at |x|<1, og |y|<1.
Jeg får videre at [tex]|x^2+y|<\epsilon[/tex], kan jeg gjøre dette?
Altså kalle[tex]f(x)=x^2[/tex] og[tex]f(y)=-y[/tex]?
I det fall jeg kan det, skal jeg prøve å få [tex]|x^2+y|[/tex] til å bli |x-y| via faktoriseringer og bruke |x|<1, |y|<1.

Er jeg på rett spor?

(Jeg er usikker på hva jeg skal sette inn for f(x) og f(y). Jeg har prøvd å bevise at -x er uniformt kontinuerlig på [-1, 0) og at [tex]x^2[/tex] er uniformt kontinuerlig på [0, 1], men på den siste får jeg at [tex]|x-y|<\frac{\epsilon}{|x+y|}[/tex]. Brøken på høyresiden er størst når x+y er minst, som er når begge er null, som gir en stygg [tex]\epsilon[/tex])

[Kake med tau]

Etter litt fundering har jeg kommet frem til dette:

[tex]\forall \epsilon>0 \exist \delta>0 : 0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon[/tex]

La [tex]\delta=\sqrt{\epsilon}[/tex]

For [tex]x \in [-1, 0)[/tex] og [tex]|x-0|<\delta[/tex]
[tex]|x|<\sqrt{\epsilon}[/tex]
[tex]|-x-0|<\sqrt{\epsilon}<\epsilon[/tex]

Så for [tex]x \in [0, 1][/tex] og [tex]|x-0|<\delta[/tex]
[tex]|x|^2<|\delta|^2[/tex]
[tex]x^2-0<\epsilon[/tex]
[tex]|x^2-0|<\epsilon[/tex] ([tex]\epsilon>0[/tex])

Eller har jeg bare vist at f er kontinuerlig i 0?

Håper noen kan gi meg tilbakemeldinger!

[svinepels]

Stusser litt over [tex]\sqrt{\epsilon} < \epsilon[/tex]. Hva om for eksempel epsilon er 1/4 ?

Sikker på at du forresten ikke kan bruke noen teoremer? Vi har jo et teorem som sier at hvis en funksjon er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall, så er den uniformt kontinuerlig på intervallet.

[Kake med tau]

Stusser litt over [tex]\sqrt{\epsilon} < \epsilon[/tex]. Hva om for eksempel epsilon er 1/4 ?

Sikker på at du forresten ikke kan bruke noen teoremer? Vi har jo et teorem som sier at hvis en funksjon er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall, så er den uniformt kontinuerlig på intervallet.

Takk for tilbakemelding!

Du har et poeng når det gjelder epsilon; ulikheten gjelder ikke når [tex]0<\epsilon<1[/tex]
Angående teoremene så sier oppgaven at jeg skal bruke "respektive definisjoner til å avgjøre om (...) (oppgaven jeg har kommet til) er uniformt kontinuerlig". Så jeg tror ikke jeg kan bruke slike teoremer

[Gustav]

Funker vel med [tex]\delta=\epsilon[/tex].

[Kake med tau]

Funker vel med [tex]\delta=\epsilon[/tex].

Takk for svar!
Men blir ikke da [tex]|x^2-0|<\epsilon^2[/tex]

Og, er fremgangsmåten min riktig for å bevise at funksjonen er uniformt kontinuerlig?

[Gustav]

Et par ting angående beviset. Du kan trygt la [tex]\epsilon \leq 1[/tex], for hvis [tex]\epsilon[/tex] er større kan vi velge [tex]\delta=2[/tex] siden |x-y|<2 impliserer at [tex]|f(x)-f(y)|\leq 1<\epsilon[/tex] for alle x,y i intervallet [-1,1]. Dersom [tex]0<\epsilon \leq 1[/tex] er også [tex]\epsilon^2 \leq \epsilon [/tex].

Jeg ville delt beviset opp i tre tilfeller: (Uten tap av generalitet, la x<y)

1) [tex]x <0, y\leq 0[/tex]

2) [tex]x< 0, y\geq 0[/tex]

3) [tex]x \geq 0, y>0[/tex]

[Kake med tau]

Et par ting angående beviset. Du kan trygt la [tex]\epsilon \leq 1[/tex], for hvis [tex]\epsilon[/tex] er større kan vi velge [tex]\delta=2[/tex] siden |x-y|<2 impliserer at [tex]|f(x)-f(y)|\leq 1<\epsilon[/tex] for alle x,y i intervallet [-1,1]. Dersom [tex]0<\epsilon \leq 1[/tex] er også [tex]\epsilon^2 \leq \epsilon [/tex].

Jeg ville delt beviset opp i tre tilfeller: (Uten tap av generalitet, la x<y)

1) [tex]x <0, y\leq 0[/tex]

2) [tex]x< 0, y\geq 0[/tex]

3) [tex]x \geq 0, y>0[/tex]

Hvis [tex]\epsilon\leq 1[/tex] så kan vel ikke [tex]|f(x)-f(y)|\leq 1<\epsilon[/tex]?

Og når det gjelder oppdelingen av beviset antar jeg at jeg må finne en felles [tex]\epsilon[/tex] for:

[tex]|-x-y^2|=|x+y^2|<\epsilon[/tex]
[tex]|-x+y|=|x-y|<\epsilon[/tex]
[tex]|x^2-y^2|<\epsilon[/tex]

Men, tusen takk for hjelpen!

[wingeer]

Finn først tre som passer for hver av de, så tar du simpelthen den minste av de tre.

[Kake med tau]

Jeg skal gjøre 3 bevis:
1. [tex]x<0, y\leq 0[/tex] da gjelder [tex]f(x)=-x, f(y)=-y[/tex]
Her passer det med [tex]\epsilon=\delta[/tex]

2. [tex]x<0, y\geq 0[/tex] da gjelder [tex]f(x)=-x, f(y)=y^2[/tex]
Her får jeg ikke til å gjøre [tex]|x+y^2|[/tex] om til [tex]C|x-y|[/tex]

3. [tex]x\geq 0, y>0[/tex] da gjelder [tex]f(x)=x^2, f(y)=y^2[/tex]
Her er problemet at jeg ikke får til å begrense [tex]|x+y|[/tex] i uttrykket [tex]|x-y|<\frac{\epsilon}{|x+y|}[/tex], [tex]x=0[/tex] funker, for at brøken skal bli størst mulig, men hvordan begrenser jeg y?

[wingeer]

3. Max|x+y|=2 siden både x og y er i [0,1].

[Kake med tau]

3. Max|x+y|=2 siden både x og y er i [0,1].

Tusen takk!
Nå er det bare (2.) som jeg må fundere mer på.

[Kake med tau]

Jeg tror jeg greide (2) nå, håper at noen kan kommentere det snarest mulig om det er feil, eller om noe kunne blitt bedre:

[tex]|x+y^2|<\epsilon[/tex]
[tex]|x+y^2|<|x+y|[/tex] (Siden [tex]0\leq y \leq 1[/tex])
[tex]|x+y|<|-x+y|[/tex] (Siden [tex]x<0[/tex])

Dermed [tex]|x+y^2|<|-x+y|=|x-y|<\delta[/tex]
Fungerer det å sette [tex]\epsilon=\delta[/tex] ?