Kurveintegral i C

Flabbrø · 15/09-2014 21:33

Jeg liker egentlig ikke å spørre på denne måten, men la gå. Hensikten er den å få rede på hvilke verktøy og begreper jeg trenger å gjøre meg kjent med, ikke å få svaret på oppgaven. Hvis det er noen unnskyldning.

Oppgaven er denne: Bilde

Hvordan bør man gå fram? Definisjonen av kurveintegralet gitt i boka er denne: Gitt en glatt kurve $\gamma$ i $\mathbb{C}$ parametrisert ved $z:[a,b]\to\mathbb{C}$, og $f$, en kontinuerlig funksjon på $\gamma$, så definerer vi integralet av $f$ langs $\gamma$ ved
$\int_\gamma f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z^\prime(t)dt$.
(Uten forberedelse har de plassert en kompleksvaluert funksjon bak et integraltegn.)

15/09-2014 23:10

Du må dele opp integralet i de fire glatte kurvene indikert på figuren, og deretter finne eksplisitte uttrykk for parametriseringene på hver enkelt del. F.eks. er den rette linjen fra $z_1=i+\frac{\pi}{2}$ til $2i$ parametrisert ved $z(t)=(1+t)i+\frac{\pi}{2}(1-t)$ der $t\in [0,1]$.

Når du har funnet uttrykk for hver parametriserte delkurve, er det bare å sette det inn i definisjonen og beregne integralene.

EDIT:

Dersom det skulle være noen tvil, så kan man gjøre følgende: $\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{\gamma_1} f(z)\,dz + \int_{\gamma_2} f(z)\,dz+ \int_{\gamma_3} f(z)\,dz + \int_{\gamma_4} f(z)\,dz $, der $\gamma_1$ er den rette linjen fra $z_1=i+\frac{\pi}{2}$ til $2i$ etc.

Flabbrø · 15/09-2014 23:46

Det er forsåvidt greit. (Selv om jeg hadde håpet på en snarvei.) Men jeg er usikker på hvordan jeg beregner integralene, i og med at uttrykket som skal integreres er komplekst.

Bruker jeg din parametrisering får jeg
$\int_0^1\cos\left((1+t)i+\frac{\pi}{2}(1-t)\right)\left(i-\frac{\pi}{2}\right)dt$

Hvor går jeg herfra? Kan jeg bruke vanlig substitusjon? (Eller bare se direkte den antideriverte.)

16/09-2014 00:53

Flabbrø skrev:Det er forsåvidt greit. (Selv om jeg hadde håpet på en snarvei.) Men jeg er usikker på hvordan jeg beregner integralene, i og med at uttrykket som skal integreres er komplekst.

Bruker jeg din parametrisering får jeg
$\int_0^1\cos\left((1+t)i+\frac{\pi}{2}(1-t)\right)\left(i-\frac{\pi}{2}\right)dt$

Hvor går jeg herfra? Kan jeg bruke vanlig substitusjon? (Eller bare se direkte den antideriverte.)

I prinsippet beregner du bare den antideriverte på vanlig måte.

Her kan det lønne seg å bruke at $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Da blir integranden mye enklere å integrere.

Flabbrø · 16/09-2014 01:33

Mulig jeg spør dumt nå, men hvorfor blir ikke den antideriverte bare $F(z(t))=\sin\left((1+t)i+\frac{\pi}{2}(1-t)\right)$?

16/09-2014 01:43

Flabbrø skrev:Mulig jeg spør dumt nå, men hvorfor blir ikke den antideriverte bare $F(z(t))=\sin\left((1+t)i+\frac{\pi}{2}(1-t)\right)$?

Det er riktig det. Bare glem det jeg skrev i forrige innlegg. (Gammel vane å bruke eksponensiell form, men det er selvsagt helt unødvendig akkurat her)

Flabbrø · 16/09-2014 22:56

OK. Mange takk.

Men blir ikke svaret da bare $\int_\gamma f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$?

16/09-2014 23:19

Tja, integralet over en lukket sløyfe i det komplekse planet som ikke
inneholder noen singulariteter er fra cauchy null. Vi kan vel legge på
en lengde fra $z_1$ til $z_2$ for å lukke sløyfa. Vi får da ved å bruke plutarcos notasjon (definert tidligere)

$ \hspace{1cm}
\int_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z + \int_\beta f(z) \,\mathrm{d}z = 0
$

Her er $\beta$ den rette linjen mellom $z_1$ og $z_1$. Løser en uttrykket ovenfor med hensyn
på integralet over $\gamma$ fås

$ \hspace{1cm}
\int_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z = - \int_\beta f(z) \,\mathrm{d}z = -\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \cos \left(i + t\frac{\pi}{2}\right) \mathrm{d}t
$

som burde være overkommelig for en ntnu student. Kan være jeg blingser på betingelsene
men mener at cauchy fortsatt gjelder selv om en ikke har en enkel sløyfe. Men det er nok minst like lærerikt
å regne ut alle kurveintegralene om du sliter med å sette dem opp.

Flabbrø · 17/09-2014 01:01

Vel, jeg gjør nok ikke det. Min største plage var det på bli satt til å integrere en kompleks funksjon uten at det var blitt definert hva det faktisk betyr. Ved å integrere ditt integral som om det var et vanlig integral med reell integrand, så får jeg det samme svaret som det jeg skrev i forrige innlegg.

Ser forresten nå at boka inneholder følgende teorem: Dersom en kontinuerlig funksjon $f$ har en primitiv $F$ i $\Omega$, og $\gamma$ er en kurve i $\Omega$ som begynner i $w_1$ og ender i $w_2$, så er
$\int_\gamma f(z)dz=F(w_2)-F(w_1)$.
Det teoremet burde jeg vel ha vært observant på før. (Beviset består i henvisning til fundamentalteoremet og kjerneregelen, på samme måte som man ville ha gjort i det reelle tilfellet.)

17/09-2014 11:31

Tja, spesifikt det du lurer på kan vel finnes her

http://www2.it.lut.fi/kurssit/06-07/Ti5 ... es9_10.pdf

Angående det theoremet, men jeg føler det er mer intuitivt å ta
det fra cauchy gorbats integral theorem. Siden det er en av de mest fundamentalene
pilarene innen kompleks analyse. Og ikke bygger på det vi kjenner fra R3

Ellers finnes det masse lenker. Men kort sagt så er integraler i det komplekse
planet alltid linjeintegral. Sånn sett så er integralene vi har i R2 også linjeintegral
men bare i en dimensjon, så vi slipper parametriseringer og slikt.

http://math.stackexchange.com/questions ... e-integral

http://math.stackexchange.com/questions ... in-english

Viktigste her er at vi har et konservativt vektorfelt. Men det er ikke noe problem så lenge
ikke området blåser opp. $\cos z$ oppfører seg ikke like pent som sin nabo $\cos x$, og har singulariterer
men på dette området går alt fint og alle er venner.

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integ ... dependence

Kan vel være en idè å lese opp igjen greens theorem, for en holomorf funksjon (kompleks og analytisk)
kan jo betraktes som en todimensjonal vektor. Og fra flerdimensjonal analyse elns har en mange fine theorem en kan
bruke. Eksempelvis greens.

17/09-2014 14:20

Måten oppgaven er formulert på indikerer at man skal beregne integralet direkte langs veien som er angitt på figuren, altså ikke benytte andre mer avanserte teorem. (Jeg tolker oppgaven som en øvelse i å finne eksplisitte uttrykk for parametriseringer i $\mathbb{C}$.)

Angående tittelen på posten, så er det ikke et kurveintegral i $\mathbb{C}^2$ det her er snakk om. Kurven $\gamma$ befinner seg i $\mathbb{C}$.
Flerdimensjonal kompleks analyse tilhører et mer avansert kurs.

Nebus forslag om å bruke Cauchys integralteorem er også helt greit, og selvsagt i overenstemmelse med at integralet mellom $z_1$ og $z_2$ er uavhengig av hvilken kurve vi integrerer langs når integranden er holomorf på hele $\mathbb{C}$ (eller hel(entire) som det da kalles). At integranden er hel stemmer dermed overens med at $\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_0^1 f(z(t))(z_2-z_1)\,dt= F(z_2)-F(z_1)$, der $z(t)=z_1+(z_2-z_1)t$ er parametriseringen av den rette linjen mellom $z_1$ og $z_2$.

Flabbrø · 17/09-2014 15:57

Takk skal dere ha for svar. Skal sjekke ut lenkene.

Tittelen er så klart tull. Jeg skynder meg å rette.

Nå etter de siste svarene blir spørsmålet følgende: Hvordan er det meningen at jeg skal beregne integralet? Jeg mener, dersom man gjør det ved å finne en antiderivert som på et reelt integral, så ser man med en gang at svaret avhenger kun av endepunktene.

Jeg henvendte meg for øvrig til en annen bok for en definisjon, og det med hell. Det var fra denne mulig å utlede blant annet linearitet, slik at
$\int_a^b f(t)dt=\int_a^b (u(t)+\mathrm{i}v(t))dt=\int_a^b u(t)dt+\mathrm{i}\int_a^bv(t)dt$.
Er det kanskje via dette siste uttrykket jeg skal beregne integralene? Eller er en annen måte mer naturlig?

17/09-2014 17:39

Flabbrø skrev:Takk skal dere ha for svar. Skal sjekke ut lenkene.

Tittelen er så klart tull. Jeg skynder meg å rette.

Nå etter de siste svarene blir spørsmålet følgende: Hvordan er det meningen at jeg skal beregne integralet? Jeg mener, dersom man gjør det ved å finne en antiderivert som på et reelt integral, så ser man med en gang at svaret avhenger kun av endepunktene.

Jeg henvendte meg for øvrig til en annen bok for en definisjon, og det med hell. Det var fra denne mulig å utlede blant annet linearitet, slik at
$\int_a^b f(t)dt=\int_a^b (u(t)+\mathrm{i}v(t))dt=\int_a^b u(t)dt+\mathrm{i}\int_a^bv(t)dt$.
Er det kanskje via dette siste uttrykket jeg skal beregne integralene? Eller er en annen måte mer naturlig?

Det komplekse integralet er definert slik du skrev i den første posten. Da ser du fort at integranden avhenger av parametriseringen. Følgelig vil den antideriverte også være avhengig av parametriseringen.

Generelt er det ikke slik at integralet er uavhengig av veien man går mellom to gitte punkter. Det er kun for funksjoner som er holomorfe i hele $\mathbb{C}$ dette gjelder. Derfor må du i det generelle tilfellet beregne integraler langs den bestemte kurven som er gitt i oppgaven.

17/09-2014 17:54

Flabbrø skrev:
$\int_\gamma f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z^\prime(t)dt$.

Merk at dette er definisjonen. Integralet til høyre er bare et vanlig integral der man betrakter $i$ som en hvilken som helst konstant.

Flabbrø · 19/09-2014 20:32

Flabbrø skrev:Det komplekse integralet er definert slik du skrev i den første posten. Da ser du fort at integranden avhenger av parametriseringen. Følgelig vil den antideriverte også være avhengig av parametriseringen.

Jeg mente i dette tilfellet, ikke generelt. Dersom den antideriverte er $\sin(z(t))$ uansett hvilket segment av kurven $z$ parametriserer, så følger det at integralet kun avhenger av endepunktene.

plutarco skrev: Merk at dette er definisjonen. Integralet til høyre er bare et vanlig integral der man betrakter <img style="width: 7px; height: 15px; margin-right: 0.047em;" src="http://matematikk.net/lib/js/mathjax/fo ... pan> <script id="MathJax-Element-4" type="math/tex">i</script> som en hvilken som helst konstant.

Det er altså det til høyre jeg har lurt på, så vi har nok snakket litt forbi hverandre. Beklager at jeg ikke har vært tydelig nok.

Men har funnet noen definisjoner nå (Riemann-definisjonen eller $\int_a^b f(t)dt=\int_a^b u(t)dt+\mathrm{i}\int_a^bv(t)dt$), så jeg tror jeg er fornøyd.