Likning med invers

[Gjest]

Hei hei!

Likningen

[tex]3x^2=\left ( \frac{1}{2} \right )arctan(2x)[/tex]

har én positiv løsning. Finn en tilnærmet verdi for denne løsningen ved å erstatte høyresiden med et taylorpolynom av grad 3 rundt 0. Svaret du da skal få, skal være et eksakt reelt tall.

Jeg skjønner generelt for Taylor polynomer at vi har:

[tex]P_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}+...\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-a)^n[/tex]

Dette er da når vi tar med uten Lagrange's rest, med error-tanken.

Hvis jeg har regnet riktig på de deriverte, så skal de være:

[tex]f'(x)=\frac{1}{4x^2+1}[/tex]

[tex]f'(x)=(4x^2+1)^{-1}\Rightarrow f''(x)=(-1)\cdot (4x^2+1)^{-2}\cdot 8x[/tex]

[tex]f''(x)=\frac{-8x}{(4x^2+1)^2}[/tex]

[tex]f'''(x)=\frac{96x^2-8}{(4x^2+1)^3}[/tex]

Jeg skjønner "rundt 0", må vel bety at a = 0.
Videre kom jeg ikke, så jeg håper på hjelp. Tusen takk for tida deres!

[Nebuchadnezzar]

Ser riktig ut dette, neste steget blir å sette inn i formelen du skrev.
Siden vi tar taylorutviklingen omkring 0 (kaller gjerne denne for maclaurin rekka) så har vi

$ \hspace{1cm}
f(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{3!} (x - 0)^2 + \frac{f'''(0)}{4!} (x - 0)^3
$

Verdiene av $f'(0)$ også videre er enkle å finne siden du allerede har regnet ut den deriverte =)

Merk at vi ikke trenger flere ledd siden vi skulle ha et polynom av tredje grad. Dersom
den siste deriverte er null $f '''(0)$ må vi ta med nest ledd $f^k(0) (x-0)^k / k!$ slik at $f^k(0) \neq 0$.

[Gjest]

Ok, takk, da prøvde jeg med videre slik:

[tex]P_{3}(x)=f(0)+f'(0)\cdot (x-0)+\frac{f''(0)}{2}\cdot (x-0)^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot (x-0)^3[/tex]

[tex]P_{3}(x)=0+1\cdot x+\frac{0}{2}\cdot x^2-\frac{8}{6}\cdot x^3[/tex]

[tex]P_{3}(x)=x-\frac{8}{6}x^3=x-\frac{4}{3}x^3=x(1-\frac{4}{3}x^2)[/tex]

Er dette riktig så langt, eller har jeg bommet et sted?

Videre update:

Jeg skriver om:

[tex]3x^2=x(1-\frac{4}{3}x^2)[/tex]

[tex]3x=1-\frac{4}{3}x^2\Rightarrow \frac{4}{3}x^2+3x-1=0[/tex]

Løser denne, og får:

[tex]x=\frac{\sqrt{129}-9}{8}[/tex]

og

[tex]x=-\frac{\sqrt{129}-9}{8}[/tex]

[Andreas345]

Ser riktig ut dette, hadde regnet på oppgaven før Nebu kom meg i forkjøpet. Da blir [tex]x=\frac{\sqrt{129}-9}{8}[/tex] den positive verdien du ønsket.