Minimalpolynom av algebraisk heltall

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg stensrud » 23/05-2019 11:31

Hei, jeg har et bevis fra forelesningene som jeg er litt usikker på.

Proposition: Let $\alpha\in\mathbb{C}$ be an algebraic integer. Then the ideal
\[I=\mathop{\mathrm{ker}}(\phi: \mathbb{Z}[X]\to\mathbb{C},f\mapsto f(\alpha))\]is principal, and equal to $(f_\alpha)$ for some irreducible monic $f_\alpha\in\mathbb{Z}[X]$.

Problemet er at jeg ikke ser helt hvordan beviset gjør det klart at $f_\alpha$ er monisk. Eller, med andre ord, hvis vi har at $f_\alpha$ er monisk, så ser jeg ikke helt hvordan beviset fungerer.

Proof: $\alpha$ is an algebraic integer, so there exists a monic $f\in \mathbb{Z}[X]$ that vanishes at $\alpha$ - then we also have $f\in I$. Let $f_\alpha\in\mathbb{Z}[X]$ be such a monic polynomial of minimal degree. Take any $h\in I$: Now use the division algorithm in $\mathbb{Q}[X]$ to obtain
\[ h=f_\alpha+r, \]and multiply by $a\in \mathbb{Z}$ to clear denominators: $ah=aqf_\alpha+ar$. Evaluate at $\alpha$ to get $ar(\alpha)=0$.

Hvis ikke $ar =0$ så vil beviset ha en motsigelse, siden $ar\in I$, og $f_\alpha$ har minimal grad ifølge antagelsen. Men $f_\alpha$ er det moniske polynomet av minimal grad for hvilke $f_\alpha=0$, så i teorien kan vi jo fint ha både $\deg ar<\deg f_\alpha$ og $ar(\alpha)=0$ hvis $ar$ ikke er monisk.

Tar jeg feil, eller må beviset skrives om litt?
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg DennisChristensen » 23/05-2019 14:38

stensrud skrev:Problemet er at jeg ikke ser helt hvordan beviset gjør det klart at $f_\alpha$ er monisk. Eller, med andre ord, hvis vi har at $f_\alpha$ er monisk, så ser jeg ikke helt hvordan beviset fungerer.


Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha}$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha}$ er monisk i beviset?
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg stensrud » 23/05-2019 16:09

DennisChristensen skrev:Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha}$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha}$ er monisk i beviset?

Slik jeg ser det så bryter beviset ned hvis vi definerer $f_\alpha$ som monisk fra starten av (slik starten av beviset over gjør). Dette er fordi vi ikke har en motsigelse i $a\cdot r(\alpha)=0,\deg r<\deg f_\alpha$ fordi $f_\alpha$ kun har minimal grad blant alle moniske polynomer. Hvis vi derimot starter med å definere $f_\alpha$ med minimal grad uten å bry oss om det er monisk eller ikke, så har vi vel ingen garantier for at $f_\alpha$ er monisk, som er det vi vil ha.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg DennisChristensen » 23/05-2019 19:46

stensrud skrev:
DennisChristensen skrev:Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha}$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha}$ er monisk i beviset?

Slik jeg ser det så bryter beviset ned hvis vi definerer $f_\alpha$ som monisk fra starten av (slik starten av beviset over gjør). Dette er fordi vi ikke har en motsigelse i $a\cdot r(\alpha)=0,\deg r<\deg f_\alpha$ fordi $f_\alpha$ kun har minimal grad blant alle moniske polynomer. Hvis vi derimot starter med å definere $f_\alpha$ med minimal grad uten å bry oss om det er monisk eller ikke, så har vi vel ingen garantier for at $f_\alpha$ er monisk, som er det vi vil ha.


Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h \in (f_{\alpha})$. Hva er problemet?
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg stensrud » 23/05-2019 22:13

DennisChristensen skrev:Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h \in (f_{\alpha})$. Hva er problemet?

Ja, hvis vi får vist at $h\in (f_\alpha)$ så er vi så godt som ferdige. Jeg er enig i at $ar\in I$, men har vi ikke $h\in (f_\alpha)$ hvis og bare hvis $r=0$? Isåfall vil det være et problem at $ar$ er et (ikke-monisk) polynom istedenfor $0$.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg DennisChristensen » 24/05-2019 00:59

stensrud skrev:
DennisChristensen skrev:Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h \in (f_{\alpha})$. Hva er problemet?

Ja, hvis vi får vist at $h\in (f_\alpha)$ så er vi så godt som ferdige. Jeg er enig i at $ar\in I$, men har vi ikke $h\in (f_\alpha)$ hvis og bare hvis $r=0$? Isåfall vil det være et problem at $ar$ er et (ikke-monisk) polynom istedenfor $0$.


Ettersom $f_{\alpha}$ er primitivt og irredusibelt over $\mathbb{Z}$, er det også irredusibelt over $\mathbb{Q}$ fra Gauss' lemma. Dermed må $f_{\alpha}$ være det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Nå ser du at du får en selvmotsigelse om $r\neq 0$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Minimalpolynom av algebraisk heltall

Innlegg stensrud » 24/05-2019 18:15

DennisChristensen skrev:Ettersom $f_{\alpha}$ er primitivt og irredusibelt over $\mathbb{Z}$, er det også irredusibelt over $\mathbb{Q}$ fra Gauss' lemma. Dermed må $f_{\alpha}$ være det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Nå ser du at du får en selvmotsigelse om $r\neq 0$.

Takk! Snakket med professoren i dag, og han sa også at et bevis uten Gauss' lemma nesten garantert er feil.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester