Minimalpolynom av algebraisk heltall

[stensrud]

Hei, jeg har et bevis fra forelesningene som jeg er litt usikker på.

Proposition: Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be an algebraic integer. Then the ideal
\\to\mathbb{C},f\mapsto f(\alpha))\]is principal, and equal to $(f_{\alpha })$ for some irreducible monic $f_{\alpha }\in \mathbb{Z}[X]$.

Problemet er at jeg ikke ser helt hvordan beviset gjør det klart at $f_{\alpha }$ er monisk. Eller, med andre ord, hvis vi har at $f_{\alpha }$ er monisk, så ser jeg ikke helt hvordan beviset fungerer.

Proof: $\alpha$ is an algebraic integer, so there exists a monic $f\in \mathbb{Z}[X]$ that vanishes at $\alpha$ - then we also have $f\in I$. Let $f_{\alpha }\in \mathbb{Z}[X]$ be such a monic polynomial of minimal degree. Take any $h\in I$: Now use the division algorithm in $\mathbb{Q}[X]$ to obtain
$$h=f_{\alpha }+r,$$and multiply by $a\in \mathbb{Z}$ to clear denominators: $ah=aq{f}_{\alpha }+ar$. Evaluate at $\alpha$ to get $ar(\alpha )=0$.

Hvis ikke $ar=0$ så vil beviset ha en motsigelse, siden $ar\in I$, og $f_{\alpha }$ har minimal grad ifølge antagelsen. Men $f_{\alpha }$ er det moniske polynomet av minimal grad for hvilke $f_{\alpha }=0$, så i teorien kan vi jo fint ha både $\mathrm{deg}ar<\mathrm{deg}{f}_{\alpha }$ og $ar(\alpha )=0$ hvis $ar$ ikke er monisk.

Tar jeg feil, eller må beviset skrives om litt?

[DennisChristensen]

Problemet er at jeg ikke ser helt hvordan beviset gjør det klart at $f_{\alpha }$ er monisk. Eller, med andre ord, hvis vi har at $f_{\alpha }$ er monisk, så ser jeg ikke helt hvordan beviset fungerer.

Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha }$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha }$ er monisk i beviset?

[stensrud]

Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha }$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha }$ er monisk i beviset?

Slik jeg ser det så bryter beviset ned hvis vi definerer $f_{\alpha }$ som monisk fra starten av (slik starten av beviset over gjør). Dette er fordi vi ikke har en motsigelse i $a\cdot r(\alpha )=0,\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{f}_{\alpha }$ fordi $f_{\alpha }$ kun har minimal grad blant alle moniske polynomer. Hvis vi derimot starter med å definere $f_{\alpha }$ med minimal grad uten å bry oss om det er monisk eller ikke, så har vi vel ingen garantier for at $f_{\alpha }$ er monisk, som er det vi vil ha.

[DennisChristensen]

Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha }$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha }$ er monisk i beviset?

Slik jeg ser det så bryter beviset ned hvis vi definerer $f_{\alpha }$ som monisk fra starten av (slik starten av beviset over gjør). Dette er fordi vi ikke har en motsigelse i $a\cdot r(\alpha )=0,\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{f}_{\alpha }$ fordi $f_{\alpha }$ kun har minimal grad blant alle moniske polynomer. Hvis vi derimot starter med å definere $f_{\alpha }$ med minimal grad uten å bry oss om det er monisk eller ikke, så har vi vel ingen garantier for at $f_{\alpha }$ er monisk, som er det vi vil ha.

Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h\in (f_{\alpha })$. Hva er problemet?

[stensrud]

Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h\in (f_{\alpha })$. Hva er problemet?

Ja, hvis vi får vist at $h\in (f_{\alpha })$ så er vi så godt som ferdige. Jeg er enig i at $ar\in I$, men har vi ikke $h\in (f_{\alpha })$ hvis og bare hvis $r=0$? Isåfall vil det være et problem at $ar$ er et (ikke-monisk) polynom istedenfor $0$.

[DennisChristensen]

Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h\in (f_{\alpha })$. Hva er problemet?

Ja, hvis vi får vist at $h\in (f_{\alpha })$ så er vi så godt som ferdige. Jeg er enig i at $ar\in I$, men har vi ikke $h\in (f_{\alpha })$ hvis og bare hvis $r=0$? Isåfall vil det være et problem at $ar$ er et (ikke-monisk) polynom istedenfor $0$.

Ettersom $f_{\alpha }$ er primitivt og irredusibelt over $\mathbb{Z}$, er det også irredusibelt over $\mathbb{Q}$ fra Gauss' lemma. Dermed må $f_{\alpha }$ være det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Nå ser du at du får en selvmotsigelse om $r\ne 0$.

[stensrud]

Ettersom $f_{\alpha }$ er primitivt og irredusibelt over $\mathbb{Z}$, er det også irredusibelt over $\mathbb{Q}$ fra Gauss' lemma. Dermed må $f_{\alpha }$ være det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Nå ser du at du får en selvmotsigelse om $r\ne 0$.

Takk! Snakket med professoren i dag, og han sa også at et bevis uten Gauss' lemma nesten garantert er feil.