integral

[al-Khwarizmi]

Hei..

Satt litt fast på denne.. noen tips og forslag..

[symbol:integral] x^3/ [symbol:rot] (x^2+1) dx

På forhånd takk

[mathvrak]

tips, uten å helt å ha regnet den enda.
Litt av uttrykket minner mye om deriverte av arcsinx

hva med å sette u = x^2 + 1 ? og bruke delvis integrasjon?

[al-Khwarizmi]

Å nei du.. den er ikke så enkel.. har prøvd på følgende..

Setter:
u= x^2+1, x= [symbol:rot] (u-1)

dx= 2 [symbol:rot] (u-1)du

slik at:
2[symbol:integral](u-1)^2/ [symbol:rot] u du 0 2 [symbol:integral] (u^2 - 2u +1)/ [symbol:rot] u du 02 [symbol:integral] u^(2/3) -2u^(1/2) +u^(-1/2) du...

Og her stopper jeg... Får ikke regnstykket til å stemme.. jeg skjønbner at du ser en arcsinx, men skaper problemer når du har x^3... noen andre forslag??

[al-Khwarizmi]

Å nei du.. den er ikke så enkel.. har prøvd på følgende..

Setter:
u= x^2+1, x= [symbol:rot] (u-1)

dx= 2 [symbol:rot] (u-1)du

slik at:
2[symbol:integral](u-1)^2/ [symbol:rot] u du = 2 [symbol:integral] (u^2 - 2u +1)/ [symbol:rot] u du = 2 [symbol:integral] u^(2/3) -2u^(1/2) +u^(-1/2) du...

Og her stopper jeg... Får ikke regnstykket til å stemme.. jeg skjønbner at du ser en arcsinx, men skaper problemer når du har x^3... noen andre forslag??

[mrcreosote]

Det skal funke rett fram med u = x^2 + 1. Regn dx/du en gang til litt nøyere og fortsett derfra. Du ender opp med å skulle integrere uttrykk av formen u^a, og det er jo greit. Gjør det, og substituer tilbake etterpå.

[mathvrak]

[tex]\int\frac{x^3}{sqrt{x^2+1}}[/tex]


[tex]u = x^2 + 1 \text{ } du = 2x dx[/tex]

[tex]\int\frac{x^3}{sqrt{x^2+1}}=\int\frac{u x}{sqrt{u}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{u}{sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\int u^{\frac{-1}{2}}du[/tex]
(obs feil i første likhet)

[mrcreosote]

I overgangen fra første til andre likhet i nederste linje skal x^3 bli til (u-1)x, ellers blir regninga akkurat som vist.

[mathvrak]

Du har rett

[tex]\int\frac{x^3}{sqrt{x^2+1}}=\int\frac{(u-1) x}{sqrt{u}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{u-1}{sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\int\frac{u}{sqrt{u}}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{sqrt{u}}du[/tex]

[al-Khwarizmi]

Er det slik at den antideriverte av 1/2 [symbol:integral] 1/ [symbol:rot] u, er 1/2u^(-1/2) pga kjærnen u?? For det naturlige ville jo være ln( [symbol:rot]u)...

Takk

[mrcreosote]

Er ikke helt med på hva du spør om egentlig. Prøv å reformulere, så får vi det til.

Integralet av [tex]{u^a}[/tex] er [tex]\frac{u^{(a+1)}}{(a+1)}[/tex] med mindre [tex]a=-1[/tex]. Det ser du lett at stemmer ved å derivere deg tilbake. Husk nå at [tex]\frac{1}{sqrt{u}} = {u^{-1/2}}[/tex]. Derfor er [tex]\int{u^{\frac{-1}{2}}du} = \frac{{u^{\frac{-1}{2}+1}}}{{\frac{-1}{2}}+1} = \frac{{u^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}} = 2*{u^{\frac{1}{2}}}[/tex]. Prøv å derivere tilbake, så ser du det stemmer.

Edit: Du verden, var jo ikke sååå vanskelig å skrive pent jo.

[mathvrak]

al-k...: glemte du noe når du integrerte 1/kvadratrot(u) ?

[tex]\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int u^{\small -1/2}= \frac{1}{2} \frac{u^{1/2}}{1/2}[/tex]

[Janhaa]

Hei..
Satt litt fast på denne.. noen tips og forslag..
1 [symbol:integral] x^3/ [symbol:rot] (x^2+1) dx
På forhånd takk

-----------------------------------------------------------------------

[tex]I\;=\;[/tex][tex]\int{x^3\over sqrt {x^2+1}}dx[/tex]


sett u = x[sup]2[/sup] + 1 og x[sup]2[/sup] = u - 1

deriver: du = (2x)dx

gang begge sider over med x[sup]2[/sup]:

du(x[sup]2[/sup]) = (2x[sup]3[/sup])dx

rydd opp etc:

0.5(u - 1) du = x[sup]3[/sup]dx

nå settes dette inn i I:


[tex]I\;=\;0.5[/tex][tex]\int (u-1)u^{-1/2}du[/tex]

bruker så delvis integrasjon på uttrykket over:

[tex]I\;=\;[/tex][tex]0.5[(u-1)2u^{1/2}\;-\;2[/tex][tex]\int u^{1/2}]du[/tex]


[tex]I\;=\;[/tex][tex](u-1)u^{1/2}\;-\;[/tex][tex]{2\over 3} u^{3/2}\;+\;C`[/tex]

setter så inn for u = x[sup]2[/sup] + 1 :

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{x^2(x^2+1)^{1/2}}\;-\;{2(x^2+1)^{3/2}\over 3}\;+\;C[/tex]

skriver dette som:

[tex]I\;=\;[/tex][tex](x^2+1)^{1/2}\;[/tex][tex][{x^2 - {2(x^2+1)\over 3}]\;+\;C[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex](x^2+1)^{1/2}\;[/tex][tex][{(x^2-2)\over 3}]\;+\;C[/tex]

[al-Khwarizmi]

Lekkert

[daofeishi]

Alternativt løsningsforslag:

La [tex]x = \tan (\theta)[/tex]. Da er [tex]\cos (\theta) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex] og [tex]\frac{dx}{d \theta} = \sec ^2 (\theta)[/tex]

Dermed:
[tex]\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \tan ^3 (\theta) \cos (\theta) \sec^2 (\theta) d \theta = \int \frac{\sin ^3 (\theta)}{\cos ^4 (\theta)} d \theta \\ = -\int (-\sin (\theta)) \frac{1- \cos^2 (\theta)}{\cos ^4 (\theta)}d \theta = \frac{1}{3} \sec (\theta) (\sec^2(\theta) - 3) + C[/tex]

Vi vet at [tex]\sec (\theta) = \sqrt{x^2 + 1}[/tex]

Dermed:
[tex]\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} dx =\frac{1}{3} \sqrt{x^2 + 1} (x^2 - 2) + C[/tex]

[mathvrak]

Her var det mange varianter.