Kontinuitet

[rm]

Vis vha definisjonen på kontinuitet (tom lindstrøm) at funksjonen er kontinuerlig i det angitte punktet:

f(x) = [symbol:rot] x i punktet 4
f(x) = 1/ [symbol:rot] x i punktet 9

Noen som kan hjelpe meg litt?

[Andrina]

Kan hjelpe deg, men det er ikke noe poeng i at jeg gir deg hele løsningen, og det vil du vel ikke ha heller. Så kan du skrive hvor problemet ligger? Les nøye gjennom epsilon-delta-definisjonen for kontinuitet, så vet du kanskje hva du må gjøre.

[rm]

jeg setter h=x-9 som gir x=h+9

f(x)-f(9) = 1/ [symbol:rot] x - 1/3 = 1/ [symbol:rot] (h+9) - 1/3

Hvordan regner man dette ut?

[Andrina]

Når det gjelder f(x)=kv.rot(x) i punktet 4:

Setter h=x-4, dermed er x=h+4

og f(x)-f(4)=kv.rot(x)-kv.rot(4)=kv.rot(h+4)-2

Bruk nå at |kv.rot(h+4)-2|<=kv.rot(h+4)+2<=kv.rot(h)+kv.rot(4)+2 (for h>0)
=kv.rot(h)+4<kv.rot(delta)+4 osv.

[Andrina]

ad f(x)=1/kv.rot(x) i punktet x=9:

Bruker at kv.rot(1+x)>=1+(1/2)*x

Da er

|1/kv.rot(h+9) -1/3|

=|(3-kv.rot(h+9))/(3kv.rot(h+9))| (bringe på fellesnevner)

=|(3-3kv.rot(h/9+1))/(3kv.rot(h+9))|

=|(1-kv.rot(h/9+1))/kv.rot(h+9)|

<=|(1-1-h/18)/kv.rot(h+9)| (bruke ulikheten ovenfor)

=(h/18)/kv.rot(h+9)

<=h/18kv.rot(h)

<=kv.rot(h)

<kv.rot (delta)

osv.

Håper dette var forståelig, spør gjerne mer. Finnes sikkert andre måter å gjøre dette på (dvs. andre ulikheter du kan bruke).