Oppgave 6.2.22 fra Kalkulus:
a) Anta at f er kontinuerlig i a og at [tex]\lim_{x \rightarrow a} f^\prime (x) = L[/tex]. Vis at f er deriverbar i a og at [tex]f^\prime (a) = L[/tex].
Kan ikke tenke meg at dette er et altfor vanskelig bevis, men jeg står da fast!!
b) er helt grei.
c) Vis at dersom de ensidige grensene [tex]\lim_{x \rightarrow a^+} g^\prime (x)[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow a^-} g^\prime (x)[/tex] eksisterer, men ikke er like, så kan ikke g være deriverbar i a.
Sliter med dette beviset også!
d) er også helt grei.
Deriverbar, derivert,...
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
a) Hva vet du om [tex]\lim_{x\to a} f(x)[/tex] når f(x) er kontinuerlig? Sleng dette inn i definisjonen på den deriverte, så kommer resultatet av seg selv!
Så slo det meg akkurat at klokken nesten er seks.. Farlig å følge med på Carlsen ut over natten, og så glemme klokken helt..
Så slo det meg akkurat at klokken nesten er seks.. Farlig å følge med på Carlsen ut over natten, og så glemme klokken helt..
Hmm..
pr.def.:
[tex]f^\prime (a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
siden f er kontinuerlig:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - f(a)] = 0[/tex]
gitt:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} f^\prime (x) = L[/tex]
Det jeg sliter med er å komme frem til hvordan jeg skal kombinere saker og ting, kun ved å bruke de lovlige reglene..
[tex]\lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = L[/tex]
Så, hvis jeg finner på denne regelen her:
[tex]L = \lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right ] = f^\prime (a)[/tex]
Men det er jo ved ulovlige metoder. Dessuten er det slett ikke sikkert at regelen gjelder engang! (Må i så fall ha et bevis først).
Men jeg trenger litt flere hint.
pr.def.:
[tex]f^\prime (a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
siden f er kontinuerlig:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - f(a)] = 0[/tex]
gitt:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} f^\prime (x) = L[/tex]
Det jeg sliter med er å komme frem til hvordan jeg skal kombinere saker og ting, kun ved å bruke de lovlige reglene..
[tex]\lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = L[/tex]
Så, hvis jeg finner på denne regelen her:
Da er det mye enklere, siden[tex]\lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{y \rightarrow b} f(x,y) \right ] = L[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\lim_{y \rightarrow b} \left [ \lim_{x \rightarrow a} f(x,y) \right ] = L[/tex]
[tex]L = \lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right ] = f^\prime (a)[/tex]
Men det er jo ved ulovlige metoder. Dessuten er det slett ikke sikkert at regelen gjelder engang! (Må i så fall ha et bevis først).
Men jeg trenger litt flere hint.
Nei, jeg må bare kaste inn håndkleet! Klarer rett og slett ikke å bevise det her formelt.
Har disse reglene å støtte meg på:
Kontinuerlig: [tex]\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)[/tex]
Tror kanskje denne er aktuell:
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Har disse reglene å støtte meg på:
Kontinuerlig: [tex]\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)[/tex]
Tror kanskje denne er aktuell:
Kan jeg få se et fullstendig bevis?[tex]\lim_{x \rightarrow a} g(x) = b[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow b} f(x) = c[/tex]. Dessuten er [tex]g(x) \not = b[/tex] for alle x tilstrekkelig nær a.
Da er [tex]\lim_{x \rightarrow a} f[g(x)] = c[/tex].
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Tingen er den at du kun trenger å vise at en av dem konvergerer uniformt, for at du kan bytte om rekkefølgen du tar grensen.
Bevis: http://math.asu.edu/~jss/courses/fall06 ... change.pdf
Så hvis du nå klarer åa rgumentere for at [tex]\lim_{x\to a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex] konvergerer uniformt til [tex]\frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/tex] i [tex]h[/tex] er du ferdig.
Bevis: http://math.asu.edu/~jss/courses/fall06 ... change.pdf
Så hvis du nå klarer åa rgumentere for at [tex]\lim_{x\to a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex] konvergerer uniformt til [tex]\frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/tex] i [tex]h[/tex] er du ferdig.