Deriverbar, derivert,...

[sEirik]

Oppgave 6.2.22 fra Kalkulus:

a) Anta at f er kontinuerlig i a og at [tex]\lim_{x \rightarrow a} f^\prime (x) = L[/tex]. Vis at f er deriverbar i a og at [tex]f^\prime (a) = L[/tex].

Kan ikke tenke meg at dette er et altfor vanskelig bevis, men jeg står da fast!!

b) er helt grei.

c) Vis at dersom de ensidige grensene [tex]\lim_{x \rightarrow a^+} g^\prime (x)[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow a^-} g^\prime (x)[/tex] eksisterer, men ikke er like, så kan ikke g være deriverbar i a.

Sliter med dette beviset også!

d) er også helt grei.

[Magnus]

a) Hva vet du om [tex]\lim_{x\to a} f(x)[/tex] når f(x) er kontinuerlig? Sleng dette inn i definisjonen på den deriverte, så kommer resultatet av seg selv!

Så slo det meg akkurat at klokken nesten er seks.. Farlig å følge med på Carlsen ut over natten, og så glemme klokken helt..

[sEirik]

Hmm..

pr.def.:
[tex]f^\prime (a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]

siden f er kontinuerlig:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - f(a)] = 0[/tex]

gitt:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} f^\prime (x) = L[/tex]

Det jeg sliter med er å komme frem til hvordan jeg skal kombinere saker og ting, kun ved å bruke de lovlige reglene..

[tex]\lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = L[/tex]

Så, hvis jeg finner på denne regelen her:

[tex]\lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{y \rightarrow b} f(x,y) \right ] = L[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\lim_{y \rightarrow b} \left [ \lim_{x \rightarrow a} f(x,y) \right ] = L[/tex]

Da er det mye enklere, siden

[tex]L = \lim_{x \rightarrow a} \left [ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ] = \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right ][/tex]

[tex]= \lim_{h \rightarrow 0} \left [ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right ] = f^\prime (a)[/tex]

Men det er jo ved ulovlige metoder. Dessuten er det slett ikke sikkert at regelen gjelder engang! (Må i så fall ha et bevis først).

Men jeg trenger litt flere hint.

[Magnus]

For kontinuerlige funksjoner er jo den "regelen" der sann. Klarer du å forklare hvorfor?

[sEirik]

Nei, jeg må bare kaste inn håndkleet! Klarer rett og slett ikke å bevise det her formelt.

Har disse reglene å støtte meg på:

Kontinuerlig: [tex]\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)[/tex]

Tror kanskje denne er aktuell:

[tex]\lim_{x \rightarrow a} g(x) = b[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow b} f(x) = c[/tex]. Dessuten er [tex]g(x) \not = b[/tex] for alle x tilstrekkelig nær a.

Da er [tex]\lim_{x \rightarrow a} f[g(x)] = c[/tex].

Kan jeg få se et fullstendig bevis?

[sEirik]

Får ikke sove før det her er i boks. Det skal ikke være så innviklet å vise heller!! Kan jeg få leke ungdomsskoleelev? PLIIIIZZ?

[Zivert]

Veit at det er helt irrellevant, men hvordan gikk det med deg i abelkonkurransen i år sErik?

[sEirik]

Jeg aner ikke nøyaktig hvordan det gikk, men at det ikke gikk så veldig bra, det er jeg sikker på.

[Zivert]

Ok, bare lurte Tenkte at du kanskje var i finalen (for dit skal jeg). Har du flere sjanser å komme med? (Veit at dette er fryktelig irrellevant, jaja)

[Magnus]

Gratulerer Zivert! Velkommen til NTNU. Da treffes vi nok: )

[Zivert]

Var der i fjor også, har ambisjoner om å gjøre det bra i år

[Magnus]

Ah,ok. Var bare med på det lille topologiseminaret deres i fjor.

[Magnus]

Ok sEirik, har sett litt nøyere på oppgaven din. Tar kapittelet ditt for seg uniform konvergens? I så fall ligger løsningen der. Hvis ikke man vi gå en liten omvei; )

[sEirik]

Den tar nok ikke for seg det nei! Det nærmeste er at det var en ekstra-oppgave i forrige kapittel om uniform kontinuitet. Men jeg tror kanskje jeg vil se omveien jeg!

[Magnus]

Tingen er den at du kun trenger å vise at en av dem konvergerer uniformt, for at du kan bytte om rekkefølgen du tar grensen.

Bevis: http://math.asu.edu/~jss/courses/fall06 ... change.pdf

Så hvis du nå klarer åa rgumentere for at [tex]\lim_{x\to a} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex] konvergerer uniformt til [tex]\frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/tex] i [tex]h[/tex] er du ferdig.