Integral

[Onkel]

Heisann!

Jeg får ikke til å løse dette integralet.

[tex]\int tan^3 x \ sec^2 x \ dx[/tex]

Jeg begynner med å bruke enhetsregelen

[tex]sin^2 x + cos^2 x = 1[/tex]

Som kan gjøres om til

[tex]tan^2 x + 1= sec^2 x[/tex]

Og da får jeg

[tex]\int tan^3 x \(tan^2 x + 1\) \ dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x + tan^3 x \ dx[/tex]


Nå kommer jeg ikke videre. Håper noen kan hjelpe.

[Charlatan]

prøv [tex]u=\tan^2x+1[/tex]

[mrcreosote]

Den deriverte til tan x er nettopp sec^2 x, så da er den naturlige substitusjonen u=tan x.

[Onkel]

Jeg tror ikke jeg forstår helt enda. Når jeg prøver med substitusjon får jeg ikke løst bort x. Hva gjør jeg galt?

[Charlatan]

Begge substitusjonene vil gi en lineær integrand av u - jobb med algebraen.

[Onkel]

Jeg får det rett og slett ikke til. Kan du kanskje hjelpe meg litt til på vei?

[mrcreosote]

Jeg er av den oppfatning at du lærer mer av å få dette til på egenhånd. Et løsningsforslag vil ikke gjøre deg så mye klokere. Vis oss hva du prøver, så skal vi heller veilede deg med utgangspunkt i det.

[Onkel]

[tex]\int tan^3 x \(tan^2 x + 1\)dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x \ + \ tan^3\ dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x \ + \ \int tan^3\ dx[/tex]

[tex]I_1=\int tan^5 x\ dx[/tex]

[tex]I_2=\int tan^3 x\ dx[/tex]

[tex]u=tanx[/tex]

[tex]\frac{du} {dx}=sec^2 x[/tex]

[tex]du=sec^2x\ dx[/tex]

[tex]I_1=\int u^5\ du [/tex]

Her kommer jeg ikke videre ved å sette inn [tex]du=sec^2x\ dx[/tex]

[Charlatan]

1) Hvorfor deler du de opp?
2) Husk at du ikke bare kan substituere et uttrykk med en variabel og integrere med hensyn på denne!

[mrcreosote]

Det kom kanskje ikke klart fram, men u=1+tan^2 x vil fungere når du har skrevet det om, u=tan x vil fungere i det opprinnelige integralet.

[Onkel]

Okei, nå tror jeg at jeg klarte den.

[tex]\int tan^3x \ sec^2x \ dx \\ u=tanx \\ \frac {du}{dx}=sec^2x \\ du=sec^2x \ dx \\ \int u^3\ du = \frac{1}{4}u^4+C = \frac{1}{4}tan^4x+C [/tex]

Trengte jo egentlig ikke å rote til noe som helst helt i fra begynnelsen.

[mrcreosote]

Ypperlig!