Komplekse røtter - Hjelp! [LØST]

[Saxon]

Har 2 oppgaver jeg ikke forstår eller klarer å løse, håper noen kan hjelpe meg

1a)

Ligningen

Kode: Velg alt

z^2 + 8z + 25 = 0

har to komplekse røtter.

Finn disse og merk dem av på en skisse av det komplekse planet. Pass på å sette av enheten "1" på den reelle aksen og enheten "i" på den imaginære aksen, så det er mulig å se at du har plassert røttene korrekt. Begge røttene ligger på en sirkel med senter i origo. Regn ut radien til denne sirkelen.

1b)

Finn alle løsningene til ligningen

Kode: Velg alt

z^3 = 1 + i

i det komplekse planet.

[espen180]

Den første er jo ikke annet enn en andregradsligning med komplekse røtter. Løs for z.

[daofeishi]

For den siste, skriv høyresiden på polarform, så er ikke løsningene så langt unna

[Saxon]

Forstår ikke hvordan man tegner det opp, har lest om det i calculus, men boka gir ingen eksempler for hvordan man gjør det, de ber oss bare tegne selv for å sjekke at svaret er korrekt.

Uheldigvis forventer boka at vi skal kunne dette, men har glemt det for år og dager siden...

[Andrina]

Når du har et komplekst tall på polarformen

r*e^(i*t),

så er t vinkelen til vektoren som representerer tallet. Og r er lengden.
Så da tegner du en vektor med lengde r som har vinkel t med x-aksen.

[bartleif]

For å finne vinkelen t til [tex]z^n[/tex], bruker man formelen :
[tex]\theta_i=\frac{\theta +2\pi k}{n}\, \,k=0,1,2,...,(n-1)\, \, n=1,2...,n[/tex]

[tex]\theta=arctan(\frac{y}{x})[/tex]

[tex]r=\sqrt{x^2+y^2}[/tex].

Nå skal det gå greit tenker jeg, ikke dumt å skrive ned disse, er ikke alltid man husker det (eller husker det rett), så lønner seg alltids.

Husk å først skrive det polarform

[Saxon]

En ting jeg ikke husker, helt basic cos / sin for noen, men det får så være...

1. Hvordan kan (7 [symbol:pi] /3) skrives som (2 [symbol:pi] + [symbol:pi] /3)?

2. Når jeg har funnet polarkoordinatene(2, 5[symbol:pi] /6) til et komplekst tall, for eksempel (-[symbol:rot] 3)+i, hvordan skal jeg steg for steg tegne det?

3. Hva mener boka med "eneste vinkelen i første omløp som har disse verdiene for cosinus(-([symbol:rot] 3)\2) og sinus(1/2) er 5[symbol:pi] /6".

Beklager dumme spørsmål, trenger bare litt eksempler for å huske hva som faktisk skjer.

[Andrina]

Kan ikke skrive latex inn i her, så det må gå uten...

1. 7*pi/3 er lik (7/3)*pi, og 7/3 er lik 2 1/3.
2. Når du har funnet polarkoordinatene , så finner du først vinkelen i koordinatsystemet (husk at 2*pi tilsvarer 360 grader).
Så tegner du en vektor med lengde r (i ditt eksempel r=2) som danner den gitte vinkelen med x-aksen (mot klokka).

3. Med "første omløp" menes at vinkelen er mellom 0 og 2*pi (0 inkludert). Vi kan jo alltids addere et multiplum av 2*pi og får samme komplekse tall (siden cos og sin er 2*pi-periodiske). Men når vi skriver et komplekst tall på polarform, da vil vi at vinkelen er mellom 0 (inkludert) og 2*pi.

[Saxon]

Yay, takk Andrian, lurte noe fælt på det, resten av oppgavene virker ganske forståelig. Får ta oppgaven i topic om et par dager, kommer visst ikke til slike røtter før om 1-2 delkapittel.

Fikk en veldig hjelpsom link fra Markonan som forklare det som stod i calculus boka muntlig, det ble ganske forståelig når man hørte det, gikk litt grundigere igjennom emnet.

[riquelme8]

Jeg sitter også med oppgave b, og lurer på noe. Når jeg har skrevet 1 + i om på polarform så får jeg ut ( [symbol:rot] 2, [symbol:pi] /4 ) .
Jeg lurte på hvor jeg går videre fra dette? Jeg har igjen nå Z^3 = den nevnte polarformen over. Jeg så i boka at man har formelen Absoluttverdien til Z^2 = a^2 + b^2 = Z* den konjungerte til Z.

Jeg har desverre ingen eksempel på dette så jeg var litt usikker på hva det betyr. Skal jeg faktorisere Z slik at jeg får Z(Z^2) = a^2 + b^2 og hvordan vil dette hjelpe meg til å komme meg fram til ønskelig svar?

På forhånd takk!

[Saxon]

Det jeg mangler nå på 1a) er å regne ut lengden på røttene.

z1 = -1 + 3i
z2 = -1 - 3i

Burde det ikke da være mulig å ta det på r = [symbol:rot] a^2 + b^2?

[symbol:rot] ((-1)^2+3^2) = [symbol:rot] 8 = 2.8284 ?

Edit: Så at det skulle være -4 og ikke -1.

[Markonan]

Riktig det. Men du bør skrive det på 'nøyaktig form'.

[tex]\sqrt{8} = \sqrt{2\cdot2\cdot2} = \sqrt{2^2\cdot2} = \sqrt{2^2}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}[/tex]

[Saxon]

Et par ting jeg sliter med, som sagt så er polarformen til b) ( [symbol:rot] 2, π /4 ), men problemet er når jeg skal ta tredjerøttene til [symbol:rot] 2, hva blir det? Hva skal jeg skrive det som? Det blir jo mye styr å regne videre med "3[symbol:rot] ([symbol:rot] 2)".

Sliter også å finne en annen måte å skrive [symbol:pi] / 12.

Håper noen kan hjelpe.

[riquelme8]

På oppgave b må du løse ligning for noe jeg ikke kommer på i farta ihvertfall, men det står bra forklart i boka omkring avsnitt 3.4-3.5. Ikke spessielt vanskelig. Du har jo allerede regnet det om til polarform, og da er det bare å følge oppskrifta i boka for uttrekning av røtter fra en kompleks andregradsligning eller hva det nå heter.

Det står i oppgaven at oppgaven blir sett på som en "plankeoppgave" fra eksamen i 2006. Jeg lurer bare på om dette betyr at den blir sett på som en lett oppgave fra 2006, eller om det betyr noe annet?

Jeg går foresten og på UiT saxon

[Saxon]

Klarte å løse begge oppgavene nå.

Gjenstår bare et bevis , går nok greit.

Plankeoppgaver er lette oppgaver, men beviset ser ikke lett ut!