matematikk.net

Bevis at linjen som skjærer med planet x+2y-z=2
og 3x+2y+2z=7 er parallel med linja
x=1+6t y=3-5t og z=2-4t
Finn en ligning for planet som utgjøres av de to linjene.

Å vise at linjene er parallele har jeg klart, men å finne ligningen for planet får jeg ikke til

(Svaret skal være: x-2y+4z=3 i følge fasit)

Plan:
[tex]{\rm I} \qquad x+2y-z=2 \\ {\rm II} \qquad 3x + 2y + 2z = 7[/tex]
Linje:
[tex]\vec {r_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right) + t \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]

Normalvektorene til disse planene er
[tex]{\rm I} \qquad \vec {n_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ {\rm II} \qquad \vec {n_2} = \left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)[/tex]

Siden normalvektorene ikke er parallelle, krysser planene i en linje parallell med [tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2}[/tex]

[tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2} = \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]

Og dette ser vi jo er parallellt til linjen
Vi ser at (1, 1, 1) ligger på begge planene, og vi får at linjen er:
[tex]\vec {r_2} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + u\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]


Okey, over til planproblemet.
Husk at et plan er entydig bestemt av to ikke-parallelle vektorer, og ett av punktene planet går igjenom.

Dermed trenger vi å finne en vektor i planet utgjort av de to linjene, som ikke er parallelle til disse linjene. Dette løser vi enkelt ved å konstruere en vektor mellom et punkt fra den ene linjen til et punkt på den andre linjen. Hva med vektoren fra (1, 1, 1) til (1, 3, 2)?

Nå har vi to vektorer som ligger i planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
og
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) [/tex]

Og massevis av punkter. La oss velge f.eks (1, 1, 1)

Vi får dermed vektorligningen for planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) [/tex]

Herfra er ikke veien lang til den kartesiske formen.

Skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke dette for å finne ligningen for planet altså.

Som du vet er koeffisientene til variablene i den kartseiske likningen lik et multippel av de korresponderende elementene i normalvektoren til planet.

En normalvektor finner vi fra kryssproduktet til vektorene i vektorlikningen til planet.

[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right) [/tex]

Dermed vet vi at den kartesiske likningen er på formen
[tex]x -2y + 4z = k[/tex]
Ved å sette inn koordinater fra et punkt i planet, f.eks. (1, 1, 1), får vi:
[tex](1) -2(1) + 4(1) = 3 \qquad \Rightarrow \qquad k = 3[/tex]

Den kartesiske likningen for planet er dermed:
[tex]x -2y + 4z = 3[/tex]

KOMMENTAR;

Vil bare nevne at et plan [tex]\;(\alpha ) \;[/tex] kan representeres på ulike måter;

1)
Ved lineær likning/planlikning som oppgava etterspør;

[tex]\alpha: \;x-2y+4z=3[/tex]

[tex]\vec n_{\alpha} =[1,-2,4][/tex]


2)
PÅ parametrisert form med et pkt (1, 1, 1) og to retningsvektorer[tex]\; \vec r_1\ =[6,-5,-4] \;og\; \vec r_2, \;=[0,2,1][/tex]. Mhp oppgava her:

[tex][x,y,z]=(1,1,1)+s\cdot [6,-5,-4]+t\cdot [0,2,1][/tex]

der s og t er to konstanter. Videre er [tex]\;\vec n_{\alpha} ={\vec r_1 [/tex]x[tex] \vec r_2= [1,-2,4][/tex]


3)
Eller på matriseform som likner på 2), men vektorene er ordnet i kolonner;

[tex]{ \left [\begin{array} x\\y\\z \end{array} \right]}\; =\;[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 1\\1\\1 \end{array} \right]}\; +\;s\cdot[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 6\\-5\\-4 \end{array} \right] }\;+\; [/tex][tex]t\cdot { \left [\begin{array} 0\\2\\1 \end{array} \right] } [/tex]


4)
EVT kan likningen til planet skrives på interseptformen;

[tex]{x\over 3}\;-\;{y\over 1,5}\;+\;{z\over 0,75}\;=\;1[/tex]