Bevis at linjen som skjærer med planet x+2y-z=2
og 3x+2y+2z=7 er parallel med linja
x=1+6t y=3-5t og z=2-4t
Finn en ligning for planet som utgjøres av de to linjene.
Å vise at linjene er parallele har jeg klart, men å finne ligningen for planet får jeg ikke til
(Svaret skal være: x-2y+4z=3 i følge fasit)
Ligning for et plan
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Plan:
[tex]{\rm I} \qquad x+2y-z=2 \\ {\rm II} \qquad 3x + 2y + 2z = 7[/tex]
Linje:
[tex]\vec {r_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right) + t \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Normalvektorene til disse planene er
[tex]{\rm I} \qquad \vec {n_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ {\rm II} \qquad \vec {n_2} = \left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)[/tex]
Siden normalvektorene ikke er parallelle, krysser planene i en linje parallell med [tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2}[/tex]
[tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2} = \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Og dette ser vi jo er parallellt til linjen
Vi ser at (1, 1, 1) ligger på begge planene, og vi får at linjen er:
[tex]\vec {r_2} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + u\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Okey, over til planproblemet.
Husk at et plan er entydig bestemt av to ikke-parallelle vektorer, og ett av punktene planet går igjenom.
Dermed trenger vi å finne en vektor i planet utgjort av de to linjene, som ikke er parallelle til disse linjene. Dette løser vi enkelt ved å konstruere en vektor mellom et punkt fra den ene linjen til et punkt på den andre linjen. Hva med vektoren fra (1, 1, 1) til (1, 3, 2)?
Nå har vi to vektorer som ligger i planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
og
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) [/tex]
Og massevis av punkter. La oss velge f.eks (1, 1, 1)
Vi får dermed vektorligningen for planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) [/tex]
Herfra er ikke veien lang til den kartesiske formen.
[tex]{\rm I} \qquad x+2y-z=2 \\ {\rm II} \qquad 3x + 2y + 2z = 7[/tex]
Linje:
[tex]\vec {r_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 3\\ 2 \end{array}\right) + t \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Normalvektorene til disse planene er
[tex]{\rm I} \qquad \vec {n_1} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ {\rm II} \qquad \vec {n_2} = \left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)[/tex]
Siden normalvektorene ikke er parallelle, krysser planene i en linje parallell med [tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2}[/tex]
[tex]\vec {n_1} \times \vec{n_2} = \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Og dette ser vi jo er parallellt til linjen
Vi ser at (1, 1, 1) ligger på begge planene, og vi får at linjen er:
[tex]\vec {r_2} = \left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + u\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
Okey, over til planproblemet.
Husk at et plan er entydig bestemt av to ikke-parallelle vektorer, og ett av punktene planet går igjenom.
Dermed trenger vi å finne en vektor i planet utgjort av de to linjene, som ikke er parallelle til disse linjene. Dette løser vi enkelt ved å konstruere en vektor mellom et punkt fra den ene linjen til et punkt på den andre linjen. Hva med vektoren fra (1, 1, 1) til (1, 3, 2)?
Nå har vi to vektorer som ligger i planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right)[/tex]
og
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) [/tex]
Og massevis av punkter. La oss velge f.eks (1, 1, 1)
Vi får dermed vektorligningen for planet:
[tex]\left( \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) [/tex]
Herfra er ikke veien lang til den kartesiske formen.
Sist redigert av daofeishi den 27/01-2007 22:33, redigert 2 ganger totalt.
Som du vet er koeffisientene til variablene i den kartseiske likningen lik et multippel av de korresponderende elementene i normalvektoren til planet.
En normalvektor finner vi fra kryssproduktet til vektorene i vektorlikningen til planet.
[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right) [/tex]
Dermed vet vi at den kartesiske likningen er på formen
[tex]x -2y + 4z = k[/tex]
Ved å sette inn koordinater fra et punkt i planet, f.eks. (1, 1, 1), får vi:
[tex](1) -2(1) + 4(1) = 3 \qquad \Rightarrow \qquad k = 3[/tex]
Den kartesiske likningen for planet er dermed:
[tex]x -2y + 4z = 3[/tex]
En normalvektor finner vi fra kryssproduktet til vektorene i vektorlikningen til planet.
[tex]\left( \begin{array}{c}6 \\ -5 \\ -4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right) [/tex]
Dermed vet vi at den kartesiske likningen er på formen
[tex]x -2y + 4z = k[/tex]
Ved å sette inn koordinater fra et punkt i planet, f.eks. (1, 1, 1), får vi:
[tex](1) -2(1) + 4(1) = 3 \qquad \Rightarrow \qquad k = 3[/tex]
Den kartesiske likningen for planet er dermed:
[tex]x -2y + 4z = 3[/tex]
KOMMENTAR;
Vil bare nevne at et plan [tex]\;(\alpha ) \;[/tex] kan representeres på ulike måter;
1)
Ved lineær likning/planlikning som oppgava etterspør;
[tex]\alpha: \;x-2y+4z=3[/tex]
[tex]\vec n_{\alpha} =[1,-2,4][/tex]
2)
PÅ parametrisert form med et pkt (1, 1, 1) og to retningsvektorer[tex]\; \vec r_1\ =[6,-5,-4] \;og\; \vec r_2, \;=[0,2,1][/tex]. Mhp oppgava her:
[tex][x,y,z]=(1,1,1)+s\cdot [6,-5,-4]+t\cdot [0,2,1][/tex]
der s og t er to konstanter. Videre er [tex]\;\vec n_{\alpha} ={\vec r_1 [/tex]x[tex] \vec r_2= [1,-2,4][/tex]
3)
Eller på matriseform som likner på 2), men vektorene er ordnet i kolonner;
[tex]{ \left [\begin{array} x\\y\\z \end{array} \right]}\; =\;[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 1\\1\\1 \end{array} \right]}\; +\;s\cdot[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 6\\-5\\-4 \end{array} \right] }\;+\; [/tex][tex]t\cdot { \left [\begin{array} 0\\2\\1 \end{array} \right] } [/tex]
4)
EVT kan likningen til planet skrives på interseptformen;
[tex]{x\over 3}\;-\;{y\over 1,5}\;+\;{z\over 0,75}\;=\;1[/tex]
Vil bare nevne at et plan [tex]\;(\alpha ) \;[/tex] kan representeres på ulike måter;
1)
Ved lineær likning/planlikning som oppgava etterspør;
[tex]\alpha: \;x-2y+4z=3[/tex]
[tex]\vec n_{\alpha} =[1,-2,4][/tex]
2)
PÅ parametrisert form med et pkt (1, 1, 1) og to retningsvektorer[tex]\; \vec r_1\ =[6,-5,-4] \;og\; \vec r_2, \;=[0,2,1][/tex]. Mhp oppgava her:
[tex][x,y,z]=(1,1,1)+s\cdot [6,-5,-4]+t\cdot [0,2,1][/tex]
der s og t er to konstanter. Videre er [tex]\;\vec n_{\alpha} ={\vec r_1 [/tex]x[tex] \vec r_2= [1,-2,4][/tex]
3)
Eller på matriseform som likner på 2), men vektorene er ordnet i kolonner;
[tex]{ \left [\begin{array} x\\y\\z \end{array} \right]}\; =\;[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 1\\1\\1 \end{array} \right]}\; +\;s\cdot[/tex][tex]{ \left [\begin{array} 6\\-5\\-4 \end{array} \right] }\;+\; [/tex][tex]t\cdot { \left [\begin{array} 0\\2\\1 \end{array} \right] } [/tex]
4)
EVT kan likningen til planet skrives på interseptformen;
[tex]{x\over 3}\;-\;{y\over 1,5}\;+\;{z\over 0,75}\;=\;1[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]