Hei!
Sitter og sliter med dette nå før eksamen i Mat1110 (kalkulus/lineær algebra). Jeg skjønner ikke helt prinsippet. Skal man tenke: "hvor langt skal jeg gå på de forskjellig aksene" ?
Eks på oppgave jeg ikke klarer:
[symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] (3+2xy)dV over D, hvor D er: solid hemispherical dome given by x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup] <=4 og z>=0.
Takker for svar!
Mvh.
Grensesetting ved trippel/dobbeltintegraler
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Som regel integrerer du m.h.p z først og setter dermed z-koordinaten innerst. Du får da [tex]0<z < \sqrt{4-y^2 - x^2} [/tex]
Så innfører du sylinderkoordinater. Dette gir oss da
[tex]x = r\cos\theta[/tex]
[tex]y = r\sin\theta[/tex]
[tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex]
Setter du inn det i z-grensen får du [tex]0<z<\sqrt{4-r^2}[/tex]
Når du gjør om til sylinderkoordinater får du at [tex]dV = r\cdot dzdrd\theta[/tex]
Så må du bare finne ut rimelige verdier på r og [tex]\theta[/tex]. Dette gjør du ved å sette z=0 og se på projeksjonen i xy-planet.
Så innfører du sylinderkoordinater. Dette gir oss da
[tex]x = r\cos\theta[/tex]
[tex]y = r\sin\theta[/tex]
[tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex]
Setter du inn det i z-grensen får du [tex]0<z<\sqrt{4-r^2}[/tex]
Når du gjør om til sylinderkoordinater får du at [tex]dV = r\cdot dzdrd\theta[/tex]
Så må du bare finne ut rimelige verdier på r og [tex]\theta[/tex]. Dette gjør du ved å sette z=0 og se på projeksjonen i xy-planet.
Takker!
Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?
Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):
[symbol:integral] [symbol:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]
Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?
Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):
[symbol:integral] [symbol:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]
Har du fasit, så kan jeg evt regne på oppgava...erlends skrev:Takker!
Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?
Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):
[symbol:integral] [symbo:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det er vel grensesetting som er det vanskeligste for de fleste med trippelintegraler, og jeg skjønner det er det du vil trene på her. Allikevel kan det være lurt å lære seg å kontrollere om svaret en får gir mening.
Vi ser det er snakk om ei halvkule med radius 2. Denne har volum 16pi/3. Derfor blir [symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] 3 dV = 3*16pi/3=16pi. Å integrere xy vil ikke bidra med noe siden volumet vi integrerer over er symmetrisk omkring x- og y-aksen. Dermed blir det søkte svar 16pi.
Vi ser det er snakk om ei halvkule med radius 2. Denne har volum 16pi/3. Derfor blir [symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] 3 dV = 3*16pi/3=16pi. Å integrere xy vil ikke bidra med noe siden volumet vi integrerer over er symmetrisk omkring x- og y-aksen. Dermed blir det søkte svar 16pi.
Det letteste av alt etter min mening er å integrere mhp, en av variablene, for så å innføre polarkoordinater.
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}3+2xy\;dz*r\;drd\theta[/tex]
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-x^2-y^2}+2xy*\sqrt{4-x^2-y^2})r\;drd\theta[/tex]
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-r^2}+2r^2Sin\theta*Cos\theta\sqrt{4-r^2})rdrd\theta[/tex]
[tex]Sin\theta*Cos\theta[/tex] er en ulik funksjon og vil gi 0 når du integrerer mhp [tex]d\theta[/tex]
Står igjen med
[tex]6\pi\int_0^2r*\sqrt{4-r^2}dr=16\pi[/tex]
Dette er det samme som skjer ved sylinderkoordinater, men det kanskje lettere å se for seg at man tvingere integrasjonen ned i planet for så å innføre velkjente polarkoordinater
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}3+2xy\;dz*r\;drd\theta[/tex]
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-x^2-y^2}+2xy*\sqrt{4-x^2-y^2})r\;drd\theta[/tex]
[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-r^2}+2r^2Sin\theta*Cos\theta\sqrt{4-r^2})rdrd\theta[/tex]
[tex]Sin\theta*Cos\theta[/tex] er en ulik funksjon og vil gi 0 når du integrerer mhp [tex]d\theta[/tex]
Står igjen med
[tex]6\pi\int_0^2r*\sqrt{4-r^2}dr=16\pi[/tex]
Dette er det samme som skjer ved sylinderkoordinater, men det kanskje lettere å se for seg at man tvingere integrasjonen ned i planet for så å innføre velkjente polarkoordinater