matematikk.net

5a) Lurte på om jeg bare kunne skrive [tex]\large f(x)=\frac{1}{x}, x\in [-1,1][/tex], og få det godkjent, eller må jeg lage en funksjon som begrenser seg selv? F.eks. [tex]\large f(x)=\sqrt{(x+1)}+ln(-x+1)[/tex].
b,c) Hva menes med uniformt kontinuerlig? Hvilken funksjon er kontinuerlig i origo, men ikke deriverbar i origo?

a) $\cos(1/x)$ er begrenset $(|\cos(x)| \leq 1)$, men ikke deriverbar i origo.

En funksjon er uniformt kontinuerlig på $A$ dersom det $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |f(x)-f(y)|< \epsilon$ for alle $x,y\in A$ slik at $|x-y|<\delta$.

Et eksempel på en funksjon som er kontinuerlig i origo men ikke deriverbar er $|x|$. Den er kontinuerlig i origo siden $\lim_{x \to 0^+} |x|=0$ og $\lim_{x \to 0^-} |x| = 0$, så $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^-} |x| = 0$. Eventuelt kan man også bruke et kort $\epsilon-\delta$-argument for å vise det samme. Hvorfor er den ikke deriverbar i origo? Da må grenseverdien (av definisjonen på den deriverte) $$\lim_{h \to 0} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$$ eksistere. Det gjør den ikke fordi $\frac{|h|}{h} \to -1$ når $h\to 0^-$, men $\frac{|h|}{h} \to 1$ når $h \to 0^+$. Altså er høyregrensen og venstregrensen ulik, så grenseverdien kan ikke eksistere, og derfor er ikke $|x|$ deriverbar i $x=0$.

Myron wrote:

Kontinuerlige funksjoner.png

5a) Lurte på om jeg bare kunne skrive [tex]\large f(x)=\frac{1}{x}, x\in [-1,1][/tex], og få det godkjent, eller må jeg lage en funksjon som begrenser seg selv? F.eks. [tex]\large f(x)=\sqrt{(x+1)}+ln(-x+1)[/tex].
b,c) Hva menes med uniformt kontinuerlig? Hvilken funksjon er kontinuerlig i origo, men ikke deriverbar i origo?

Fyller inn med et par ekstra hint:
(a) Ved å se for oss grafen til en slik funksjon kan vi også konstruere enkle eksempler, som
$$
f(x) = \begin{cases} -1 &\mbox{ hvis }x<0 \\ 1 & \mbox{ hvis }x\geq 0.\end{cases}
$$

(b) Vi vet at en slik funksjon ikke kan være kontinuerlig på hele intervallet $[-1,1]$, ettersom dette hadde medført uniform kontinuitet. Derfor kan det være lurt å se på funksjoner som ikke lar seg definere kontinuerlig på hele intervallet, men kun $(-1,1)$.

(c) Enig her i at $f(x) = |x|$. Merk deg at ettersom denne funksjonen er kontinuerlig på $[-1,1]$, er den også uniformt kontinuerlig på $[-1,1]$, ettersom $[-1,1]$ er et lukket intervall.

(d) Vi kan konstruere en slik funksjon ved å ta utgangspunkt i at $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ ikke er kontinuerlig i origo. Om vi multipliserer med en $x$-potens kan vi derimot få en veldefinert grenseverdi i origo, så funksjonen blir kontinuerlig. Ta for eksempel $x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)$, som har en veldefinert grenseverdi i origo, hvilket lar oss definere en kontinuerlig funksjon på $[-1,1]$. Hva skjer når vi deriverer denne funksjonen? Merk deg at du må derivere eksplisitt med grenseverdier i origo for å vise at den deriverte eksisterer.

Litt flisespikk: cos(1/x) er strengt tatt ikke definert for x=0, så det gir ikke mening å snakke om deriverbarhet i origo her. Istedet kan man se på funksjonen f(x) gitt ved $x^2\cos(1/x)$ for $x\ne0$ og 0 for x=0.

Gjest wrote:Litt flisespikk: cos(1/x) er strengt tatt ikke definert for x=0, så det gir ikke mening å snakke om deriverbarhet i origo her. Istedet kan man se på funksjonen f(x) gitt ved $x^2\cos(1/x)$ for $x\ne0$ og 0 for x=0.

Det er sant, men eksempelet kan fortsatt brukes med en litet modifikasjon. La oss definere
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{hvis } x=0 \\
\cos\left(\frac1x \right ) & \text{hvis x } \neq 0
\end{matrix}\right.$$
Anta, i jakt på selvmotsigelse, at $f$ er kontinuerlig i $x=0$. Da skal det $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ slik at $|x| < \delta \implies |f(x)-f(0)|<\epsilon$. La foreksempel $\epsilon=\frac15$. Da følger det av antakelsen vår at det finnes en $\delta>0$ slik at $|\cos(1/x)-f(0)|=|\cos(1/x)|<\epsilon=\frac15$.

La nå $n$ være et naturlig tall så stort at $\frac{1}{2\pi n}<\delta$ (dette er mulig fordi $\mathbb{R}$ er arkimedisk). La $x=\frac{1}{2\pi n}$. Av antakelsen skal det eksitere en $\delta$ slik at $|x|<\delta$. Nå er $|\cos(1/x)|= \left|\cos\left( \frac{1}{\frac{1}{2\pi n}} \right) \right| = |\cos(2\pi n)| \overset{n \in \mathbb{N}}{=} 1 > \frac{1}{5}$. En selvmotsigelse.