Kontinuerlige funksjoner

[Myron]

Kontinuerlige funksjoner.png (32.44 KiB) Viewed 4459 times

5a) Lurte på om jeg bare kunne skrive $f(x)=\frac{1}{x},x\in [-1,1]$, og få det godkjent, eller må jeg lage en funksjon som begrenser seg selv? F.eks. $f(x)=\sqrt{(x+1)}+ln(-x+1)$.
b,c) Hva menes med uniformt kontinuerlig? Hvilken funksjon er kontinuerlig i origo, men ikke deriverbar i origo?

[Markus]

a) $\cos (1/x)$ er begrenset $(|\cos (x)|\le 1)$, men ikke deriverbar i origo.

En funksjon er uniformt kontinuerlig på $A$ dersom det $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0:|f(x)-f(y)|<ϵ$ for alle $x,y\in A$ slik at $|x-y|<\delta$.

Et eksempel på en funksjon som er kontinuerlig i origo men ikke deriverbar er $|x|$. Den er kontinuerlig i origo siden $\underset{x\to 0^{+}}{lim}|x|=0$ og $\underset{x\to 0^{-}}{lim}|x|=0$, så $\underset{x\to 0^{+}}{lim}|x|=\underset{x\to 0^{-}}{lim}|x|=0$. Eventuelt kan man også bruke et kort $ϵ-\delta$-argument for å vise det samme. Hvorfor er den ikke deriverbar i origo? Da må grenseverdien (av definisjonen på den deriverte) $$\underset{h\to 0}{lim}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{|h|}{h}$$ eksistere. Det gjør den ikke fordi $\frac{|h|}{h}\to -1$ når $h\to 0^{-}$, men $\frac{|h|}{h}\to 1$ når $h\to 0^{+}$. Altså er høyregrensen og venstregrensen ulik, så grenseverdien kan ikke eksistere, og derfor er ikke $|x|$ deriverbar i $x=0$.

[DennisChristensen]

Kontinuerlige funksjoner.png

5a) Lurte på om jeg bare kunne skrive $f(x)=\frac{1}{x},x\in [-1,1]$, og få det godkjent, eller må jeg lage en funksjon som begrenser seg selv? F.eks. $f(x)=\sqrt{(x+1)}+ln(-x+1)$.
b,c) Hva menes med uniformt kontinuerlig? Hvilken funksjon er kontinuerlig i origo, men ikke deriverbar i origo?

Fyller inn med et par ekstra hint:
(a) Ved å se for oss grafen til en slik funksjon kan vi også konstruere enkle eksempler, som
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{ hvis }x<0\\ 1& \text{ hvis }x\ge 0.\end{array}$$

(b) Vi vet at en slik funksjon ikke kan være kontinuerlig på hele intervallet $[-1,1]$, ettersom dette hadde medført uniform kontinuitet. Derfor kan det være lurt å se på funksjoner som ikke lar seg definere kontinuerlig på hele intervallet, men kun $(-1,1)$.

(c) Enig her i at $f(x)=|x|$. Merk deg at ettersom denne funksjonen er kontinuerlig på $[-1,1]$, er den også uniformt kontinuerlig på $[-1,1]$, ettersom $[-1,1]$ er et lukket intervall.

(d) Vi kan konstruere en slik funksjon ved å ta utgangspunkt i at $\cos \left(\frac{1}{x}\right)$ ikke er kontinuerlig i origo. Om vi multipliserer med en $x$-potens kan vi derimot få en veldefinert grenseverdi i origo, så funksjonen blir kontinuerlig. Ta for eksempel $x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)$, som har en veldefinert grenseverdi i origo, hvilket lar oss definere en kontinuerlig funksjon på $[-1,1]$. Hva skjer når vi deriverer denne funksjonen? Merk deg at du må derivere eksplisitt med grenseverdier i origo for å vise at den deriverte eksisterer.

[Guest]

Litt flisespikk: cos(1/x) er strengt tatt ikke definert for x=0, så det gir ikke mening å snakke om deriverbarhet i origo her. Istedet kan man se på funksjonen f(x) gitt ved $x^2\cos (1/x)$ for $x\ne 0$ og 0 for x=0.

[Markus]

Litt flisespikk: cos(1/x) er strengt tatt ikke definert for x=0, så det gir ikke mening å snakke om deriverbarhet i origo her. Istedet kan man se på funksjonen f(x) gitt ved $x^2\cos (1/x)$ for $x\ne 0$ og 0 for x=0.

Det er sant, men eksempelet kan fortsatt brukes med en litet modifikasjon. La oss definere
$$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{hvis }x=0\\ \cos \left(\frac{1}{x}\right)& \text{hvis x }\ne 0\end{array}$$
Anta, i jakt på selvmotsigelse, at $f$ er kontinuerlig i $x=0$. Da skal det $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0$ slik at $|x|<\delta ⟹|f(x)-f(0)|<ϵ$. La foreksempel $ϵ=\frac{1}{5}$. Da følger det av antakelsen vår at det finnes en $\delta >0$ slik at $|\cos (1/x)-f(0)|=|\cos (1/x)|<ϵ=\frac{1}{5}$.

La nå $n$ være et naturlig tall så stort at $\frac{1}{2\pi n}<\delta$ (dette er mulig fordi $\mathbb{R}$ er arkimedisk). La $x=\frac{1}{2\pi n}$. Av antakelsen skal det eksitere en $\delta$ slik at $|x|<\delta$. Nå er $|\cos (1/x)|=|\cos \left(\frac{1}{\frac{1}{2\pi n}}\right)|=|\cos (2\pi n)|\stackrel{n\in \mathbb{N}}{=}1>\frac{1}{5}$. En selvmotsigelse.