Myron skrev:Kontinuerlige funksjoner.png
5a) Lurte på om jeg bare kunne skrive [tex]\large f(x)=\frac{1}{x}, x\in [-1,1][/tex], og få det godkjent, eller må jeg lage en funksjon som begrenser seg selv? F.eks. [tex]\large f(x)=\sqrt{(x+1)}+ln(-x+1)[/tex].
b,c) Hva menes med uniformt kontinuerlig? Hvilken funksjon er kontinuerlig i origo, men ikke deriverbar i origo?
Fyller inn med et par ekstra hint:
(a) Ved å se for oss grafen til en slik funksjon kan vi også konstruere enkle eksempler, som
$$
f(x) = \begin{cases} -1 &\mbox{ hvis }x<0 \\ 1 & \mbox{ hvis }x\geq 0.\end{cases}
$$
(b) Vi vet at en slik funksjon ikke kan være kontinuerlig på hele intervallet $[-1,1]$, ettersom dette hadde medført uniform kontinuitet. Derfor kan det være lurt å se på funksjoner som ikke lar seg definere kontinuerlig på hele intervallet, men kun $(-1,1)$.
(c) Enig her i at $f(x) = |x|$. Merk deg at ettersom denne funksjonen er kontinuerlig på $[-1,1]$, er den også uniformt kontinuerlig på $[-1,1]$, ettersom $[-1,1]$ er et lukket intervall.
(d) Vi kan konstruere en slik funksjon ved å ta utgangspunkt i at $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ ikke er kontinuerlig i origo. Om vi multipliserer med en $x$-potens kan vi derimot få en veldefinert grenseverdi i origo, så funksjonen blir kontinuerlig. Ta for eksempel $x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)$, som har en veldefinert grenseverdi i origo, hvilket lar oss definere en kontinuerlig funksjon på $[-1,1]$. Hva skjer når vi deriverer denne funksjonen? Merk deg at du må derivere eksplisitt med grenseverdier i origo for å vise at den deriverte eksisterer.