Konvergens/divergens av rekker

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Konvergens/divergens av rekker

Innlegg Kwerty » 17/11-2018 13:53

Hei,

Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].

Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Konvergens/divergens av rekker

Innlegg DennisChristensen » 17/11-2018 16:27

Kwerty skrev:Hei,

Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].

Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?


Bruk forholdstesten på grenseform:

Teorem. La $(a_n)$ og $(b_n)$ være to positive følger og anta at
$$
\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L,\mbox{ hvor }0 < L <\infty.
$$
Da konvergerer $\sum a_n$ hvis og bare hvis $\sum b_n$ konvergerer.

Bevis. Ettersom $\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L$ vet vi at det finnes en $N$ slik at for alle $k\geq N$ har vi at $|\frac{a_k}{b_k} - L| < \frac12L$. Det vil si, $\frac12L<\frac{a_k}{b_k}<\frac32L.$ Dermed er $a_k < \frac32Lb_k$ og $b_k < 2\frac1La_k$, så vi kan bruke den vanlige forholdstesten til å bevise teoremet.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 762
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Konvergens/divergens av rekker

Innlegg Kwerty » 17/11-2018 17:09

Takk. Men vi kan altså ikke si noe om divergensen?
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Konvergens/divergens av rekker

Innlegg Markus » 17/11-2018 19:40

Rekken divergerer. Hvis du skal bruke sammenligningstesten til dette må du finne en rekke som «begrenser» $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$ nedenifra, og som divergerer. Da følger det at rekken du nevner divergerer. Her har du funnet en øvre begrensing som divergerer, men det impliserer nødvendigvis ikke at rekken du nevner også divergerer. Men du er ikke langt unna i det hele tatt!

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$ begrenser $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ nedenifra (overbevis deg selv ved å skrive ut noen ledd), og $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n} = \frac15 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Her har vi den harmoniske rekken, som du nevner selv divergerer! Da divergerer $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$, og siden den begrenset din rekke nedenifra vil også $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ divergere (av sammenligningstesten).
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 20 gjester