
Fysikkgjest skrev:Først må vi finne massen M til romfiguren:
M = [tex]\int \int \int[/tex] [tex]\rho[/tex](x,y,z) dV = ( innfører sylinderkoordinatar ) 6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex]( r + z ) r dr) dz) d[tex]\varphi[/tex]
Massesenteret ( [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex], [tex]\overline{z}[/tex] ) =
[tex]\int \int \int[/tex]( [tex]\overrightarrow{r}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\cdot[/tex]dV / M =
6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex] (r cos[tex]\varphi[/tex] [tex]\overrightarrow{i}[/tex] + r sin[tex]\varphi[/tex][tex]\overrightarrow{j}[/tex] + z [tex]\overrightarrow{k}[/tex]) (r + z )r dr dz d[tex]\varphi[/tex]/M = ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-leddet og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-leddet nullar seg ut p.g.a. symmetri om origo )
6 [tex]\int_{0}^{7}[/tex] [tex]\int_{0}^{5}[/tex] z[tex]\overrightarrow{k}[/tex]( r + z ) r dr dz / M
fysikkgjest skrev:[tex]\overrightarrow{k}[/tex] er einingsvektor langs z-aksen. Dette er ein konstant som vi kan setje utanfor integralteiknet.
NÅr vi har integrert opp r-delen og z-delen , endar vi opp med eit reelt tal multiplisert med [tex]\overrightarrow{k}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-delen og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-delen blir begge lik null ).
Dette viser at x- og y-koordinaten til massesenteret begge er lik null. Massesenteret må m.a.o. ligge på z-aksen. Er dette rimeleg ?
Fysikkgjest skrev:Gledeleg å høyre at du har kome i mål. Vil gjerne legge til at vi kan sjekke sluttresultatet ved ein relativt enkel figuranalyse:
Romfiguren er ein sylinder med radius r = 5 og høgde h = 7. Den sirkelforma grunnflata ligg i xy-planet og har sentrum i origo.
Sylinderaksen går langs z-aksen , dvs. romfiguren er rotasjonssymmetrisk med omsyn på z-aksen. Det same kan vi seie om tettleiken ( [tex]\rho[/tex] ) ettersom denne er uavhengig av retningsvinkelen [tex]\varphi[/tex]. Desse betraktningane viser
klart og tydeleg at massesenteret må ligge på z-aksen.
Vidare ser vi at tettleiken [tex]\rho[/tex] = r + z aukar når vi går oppover langs z-aksen ( sylinderaksen ). Det betyr at
den delen av sylinderen som ligg over midtpunktet z = 3.5 har større masse enn den delen som ligg under. Altså må z-koordinaten til massesenteret vere større enn 3.5. I følgje dine utrekningar får vi
z = [tex]\frac{168}{41}[/tex] > 3.5 ( eit rimeleg resultat )
Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot] og 61 gjester