Massesenter

[Freia]

Hvordan løser man en slik oppgave? Finner ingen lignende eksempel i boka eller på nett, og jeg har ramlet helt av dobbel/trippel-integraltoget...

[Fysikkgjest]

Først må vi finne massen M til romfiguren:

M = [tex]\int \int \int[/tex] [tex]\rho[/tex](x,y,z) dV = ( innfører sylinderkoordinatar ) 6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex]( r + z ) r dr) dz) d[tex]\varphi[/tex]

Massesenteret ( [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex], [tex]\overline{z}[/tex] ) =

[tex]\int \int \int[/tex]( [tex]\overrightarrow{r}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\cdot[/tex]dV / M =

6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex] (r cos[tex]\varphi[/tex] [tex]\overrightarrow{i}[/tex] + r sin[tex]\varphi[/tex][tex]\overrightarrow{j}[/tex] + z [tex]\overrightarrow{k}[/tex]) (r + z )r dr dz d[tex]\varphi[/tex]/M = ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-leddet og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-leddet nullar seg ut p.g.a. symmetri om origo )

6 [tex]\int_{0}^{7}[/tex] [tex]\int_{0}^{5}[/tex] z[tex]\overrightarrow{k}[/tex]( r + z ) r dr dz / M

[Freia]

Først må vi finne massen M til romfiguren:

M = [tex]\int \int \int[/tex] [tex]\rho[/tex](x,y,z) dV = ( innfører sylinderkoordinatar ) 6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex]( r + z ) r dr) dz) d[tex]\varphi[/tex]

Massesenteret ( [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex], [tex]\overline{z}[/tex] ) =

[tex]\int \int \int[/tex]( [tex]\overrightarrow{r}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\cdot[/tex]dV / M =

6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex] (r cos[tex]\varphi[/tex] [tex]\overrightarrow{i}[/tex] + r sin[tex]\varphi[/tex][tex]\overrightarrow{j}[/tex] + z [tex]\overrightarrow{k}[/tex]) (r + z )r dr dz d[tex]\varphi[/tex]/M = ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-leddet og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-leddet nullar seg ut p.g.a. symmetri om origo )

6 [tex]\int_{0}^{7}[/tex] [tex]\int_{0}^{5}[/tex] z[tex]\overrightarrow{k}[/tex]( r + z ) r dr dz / M

Hvordan regner jeg ut det siste integralet, med den k-vektoren??
Det første integralet har jeg allerede regner ut, fikk 7175*Pi, forstår ikke resten

[fysikkgjest]

[tex]\overrightarrow{k}[/tex] er einingsvektor langs z-aksen. Dette er ein konstant som vi kan setje utanfor integralteiknet.

NÅr vi har integrert opp r-delen og z-delen , endar vi opp med eit reelt tal multiplisert med [tex]\overrightarrow{k}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-delen og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-delen blir begge lik null ).

Dette viser at x- og y-koordinaten til massesenteret begge er lik null. Massesenteret må m.a.o. ligge på z-aksen. Er dette rimeleg ?

[Freia]

[tex]\overrightarrow{k}[/tex] er einingsvektor langs z-aksen. Dette er ein konstant som vi kan setje utanfor integralteiknet.

NÅr vi har integrert opp r-delen og z-delen , endar vi opp med eit reelt tal multiplisert med [tex]\overrightarrow{k}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-delen og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-delen blir begge lik null ).

Dette viser at x- og y-koordinaten til massesenteret begge er lik null. Massesenteret må m.a.o. ligge på z-aksen. Er dette rimeleg ?

Trooor jeg henger litt mer med nå.

Men får uansett ikke riktig svar når jeg fører inn? Får 14700/(7175π), 84/(41*π), som er siste integral delt på første integral etter formelen

(0, 0, 84/(41*π))

EDIT: glemte å gange siste integralet med 2Pi, fått til nå

[Fysikkgjest]

Gledeleg å høyre at du har kome i mål. Vil gjerne legge til at vi kan sjekke sluttresultatet ved ein relativt enkel figuranalyse:

Romfiguren er ein sylinder med radius r = 5 og høgde h = 7. Den sirkelforma grunnflata ligg i xy-planet og har sentrum i origo.
Sylinderaksen går langs z-aksen , dvs. romfiguren er rotasjonssymmetrisk med omsyn på z-aksen. Det same kan vi seie om tettleiken ( [tex]\rho[/tex] ) ettersom denne er uavhengig av retningsvinkelen [tex]\varphi[/tex]. Desse betraktningane viser
klart og tydeleg at massesenteret må ligge på z-aksen.
Vidare ser vi at tettleiken [tex]\rho[/tex] = r + z aukar når vi går oppover langs z-aksen ( sylinderaksen ). Det betyr at
den delen av sylinderen som ligg over midtpunktet z = 3.5 har større masse enn den delen som ligg under. Altså må z-koordinaten til massesenteret vere større enn 3.5. I følgje dine utrekningar får vi

z = [tex]\frac{168}{41}[/tex] > 3.5 ( eit rimeleg resultat )

[Freia]

Gledeleg å høyre at du har kome i mål. Vil gjerne legge til at vi kan sjekke sluttresultatet ved ein relativt enkel figuranalyse:

Romfiguren er ein sylinder med radius r = 5 og høgde h = 7. Den sirkelforma grunnflata ligg i xy-planet og har sentrum i origo.
Sylinderaksen går langs z-aksen , dvs. romfiguren er rotasjonssymmetrisk med omsyn på z-aksen. Det same kan vi seie om tettleiken ( [tex]\rho[/tex] ) ettersom denne er uavhengig av retningsvinkelen [tex]\varphi[/tex]. Desse betraktningane viser
klart og tydeleg at massesenteret må ligge på z-aksen.
Vidare ser vi at tettleiken [tex]\rho[/tex] = r + z aukar når vi går oppover langs z-aksen ( sylinderaksen ). Det betyr at
den delen av sylinderen som ligg over midtpunktet z = 3.5 har større masse enn den delen som ligg under. Altså må z-koordinaten til massesenteret vere større enn 3.5. I følgje dine utrekningar får vi

z = [tex]\frac{168}{41}[/tex] > 3.5 ( eit rimeleg resultat )

Ting er veldig mye klarere nå, tusen takk! Har fortsatt et stykke å gå før jeg klarer å løse alle dobbel- og trippelintegraler på egenhånd, sliter litt med å finne ut hva som skal bli til grenser, og hva som blir integrand. Spesielt etter vi innførte alle substitusjonene med Jacobi, og de forskjellige koordinatene men heldigvis ei lita stund til eksamen...

[Mattebruker]

Bruk av polarkoordinatar i dobbel- og trippelintegral ( ein kortfatta oversikt )

Polarkoordinatar i planet har desse variablane : r og rotasjonsvinkel [tex]\varphi[/tex]

x = r cos[tex]\varphi[/tex] og y = r sin[tex]\varphi[/tex]

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = r[tex]^{2}[/tex]

Polarkoordinatar i planet vert også kalla sirkelkoordinatar. Grunnen er ganske openbar: Dersom vi skal integrere over
ei sirkelforma flate( eller delar av denne ) , løner det seg å innføre polarkoordinatar.
Når vi går frå ( x , y ) [tex]\rightarrow[/tex] ( r , [tex]\varphi[/tex] ) , får vi ein omrekningsfaktor ( også kalla Jakobideterminanten ) som er lik r. Denne gir flateelementet

dA = r dr d[tex]\varphi[/tex]

Sylinderkoordinatar har ein z-koordinat ( " høgda på sylinderen " ) i tillegg til koordinatane( r og [tex]\varphi[/tex] ) vi brukar til å beskrive grunnflata ( sirkelen ).

Volumelementet dV = dA [tex]\cdot[/tex]dz = r dr d[tex]\varphi[/tex] dz
Når er det hensiktmessig å innføre sylinderkoordinatar ?

Kan ikkje gi noko generelt svar. Men kan seie at sylinderkoordinatar forenklar reknearbeidet når vi integrerer over ein romfigur der snittflata parallell xy-planet( evt. xz- eller yz-planet ) er ein sirkel.
Oppgåva som blei posta tidlegare i dag( Integral med absoluttverdi ) kan vere eit illustrerende eksempel i så måte.

Kulekoordinatar ( sfæriske polarkoordinatar ) har tre variable: r , [tex]\theta[/tex] og [tex]\varphi[/tex]

r: Avstanden( radien ) frå origo til eit vilkårleg punkt P( x , y , z ) på kuleflata.
[tex]\theta[/tex] : Vinkelen mellom [tex]\overrightarrow{r}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] ) og positiv z-akse ( 0 [tex]\leqslant[/tex] [tex]\theta[/tex] [tex]\leqslant[/tex] [tex]\pi[/tex] )

[tex]\varphi[/tex] : Vinkelen mellom positiv x-akse og projeksjonen av [tex]\left | \overrightarrow{r} \right |[/tex] på xy-planet ( 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\varphi[/tex] [tex]\leqslant[/tex] 2[tex]\pi[/tex] )

x ( kartesisk koordinat ) = r sin[tex]\theta[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] ( r sin[tex]\theta[/tex] = projeksjonen (" skuggen " ) av kuleradius ( r ) på xy-planet )



y = r sin[tex]\theta[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

z = r cos[tex]\theta[/tex]

Når vi går frå kartesiske ( x , y , z ) [tex]\rightarrow[/tex] sfæriske ( r , [tex]\theta[/tex] , [tex]\varphi[/tex] ) koordinatar, får vi ein "omrekningsfaktor" ( Jakobideterminant ) lik r[tex]^{2}[/tex]sin[tex]\theta[/tex]
Denne gir volumelementet

dV = r[tex]^{2}[/tex] sin[tex]\theta[/tex] dr d[tex]\theta[/tex] d[tex]\varphi[/tex]

MERK ! Bruk av kulekoordinatar forenklar reknearbeidet ganske betrakteleg når vi integrerer over ein kuleforma
romfigur ( eller delar av denne ).