Massesenter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Massesenter

Innlegg Freia » 28/02-2020 12:47

Hvordan løser man en slik oppgave? Finner ingen lignende eksempel i boka eller på nett, og jeg har ramlet helt av dobbel/trippel-integraltoget...

Bilde
Freia offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 12/02-2020 16:24

Re: Massesenter

Innlegg Fysikkgjest » 28/02-2020 14:49

Først må vi finne massen M til romfiguren:

M = [tex]\int \int \int[/tex] [tex]\rho[/tex](x,y,z) dV = ( innfører sylinderkoordinatar ) 6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex]( r + z ) r dr) dz) d[tex]\varphi[/tex]

Massesenteret ( [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex], [tex]\overline{z}[/tex] ) =

[tex]\int \int \int[/tex]( [tex]\overrightarrow{r}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\cdot[/tex]dV / M =

6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex] (r cos[tex]\varphi[/tex] [tex]\overrightarrow{i}[/tex] + r sin[tex]\varphi[/tex][tex]\overrightarrow{j}[/tex] + z [tex]\overrightarrow{k}[/tex]) (r + z )r dr dz d[tex]\varphi[/tex]/M = ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-leddet og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-leddet nullar seg ut p.g.a. symmetri om origo )

6 [tex]\int_{0}^{7}[/tex] [tex]\int_{0}^{5}[/tex] z[tex]\overrightarrow{k}[/tex]( r + z ) r dr dz / M
Fysikkgjest offline

Re: Massesenter

Innlegg Freia » 28/02-2020 15:03

Fysikkgjest skrev:Først må vi finne massen M til romfiguren:

M = [tex]\int \int \int[/tex] [tex]\rho[/tex](x,y,z) dV = ( innfører sylinderkoordinatar ) 6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex]( r + z ) r dr) dz) d[tex]\varphi[/tex]

Massesenteret ( [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex], [tex]\overline{z}[/tex] ) =

[tex]\int \int \int[/tex]( [tex]\overrightarrow{r}[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\cdot[/tex]dV / M =

6 [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]( [tex]\int_{0}^{7}[/tex] ([tex]\int_{0}^{5}[/tex] (r cos[tex]\varphi[/tex] [tex]\overrightarrow{i}[/tex] + r sin[tex]\varphi[/tex][tex]\overrightarrow{j}[/tex] + z [tex]\overrightarrow{k}[/tex]) (r + z )r dr dz d[tex]\varphi[/tex]/M = ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-leddet og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-leddet nullar seg ut p.g.a. symmetri om origo )

6 [tex]\int_{0}^{7}[/tex] [tex]\int_{0}^{5}[/tex] z[tex]\overrightarrow{k}[/tex]( r + z ) r dr dz / M



Hvordan regner jeg ut det siste integralet, med den k-vektoren??
Det første integralet har jeg allerede regner ut, fikk 7175*Pi, forstår ikke resten
Freia offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 12/02-2020 16:24

Re: Massesenter

Innlegg fysikkgjest » 28/02-2020 15:18

[tex]\overrightarrow{k}[/tex] er einingsvektor langs z-aksen. Dette er ein konstant som vi kan setje utanfor integralteiknet.

NÅr vi har integrert opp r-delen og z-delen , endar vi opp med eit reelt tal multiplisert med [tex]\overrightarrow{k}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-delen og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-delen blir begge lik null ).

Dette viser at x- og y-koordinaten til massesenteret begge er lik null. Massesenteret må m.a.o. ligge på z-aksen. Er dette rimeleg ?
fysikkgjest offline

Re: Massesenter

Innlegg Freia » 28/02-2020 20:51

fysikkgjest skrev:[tex]\overrightarrow{k}[/tex] er einingsvektor langs z-aksen. Dette er ein konstant som vi kan setje utanfor integralteiknet.

NÅr vi har integrert opp r-delen og z-delen , endar vi opp med eit reelt tal multiplisert med [tex]\overrightarrow{k}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{i}[/tex]-delen og [tex]\overrightarrow{j}[/tex]-delen blir begge lik null ).

Dette viser at x- og y-koordinaten til massesenteret begge er lik null. Massesenteret må m.a.o. ligge på z-aksen. Er dette rimeleg ?


Trooor jeg henger litt mer med nå.

Men får uansett ikke riktig svar når jeg fører inn? Får 14700/(7175π), 84/(41*π), som er siste integral delt på første integral etter formelen

(0, 0, 84/(41*π))

EDIT: glemte å gange siste integralet med 2Pi, fått til nå
Freia offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 12/02-2020 16:24

Re: Massesenter

Innlegg Fysikkgjest » 29/02-2020 08:20

Gledeleg å høyre at du har kome i mål. Vil gjerne legge til at vi kan sjekke sluttresultatet ved ein relativt enkel figuranalyse:

Romfiguren er ein sylinder med radius r = 5 og høgde h = 7. Den sirkelforma grunnflata ligg i xy-planet og har sentrum i origo.
Sylinderaksen går langs z-aksen , dvs. romfiguren er rotasjonssymmetrisk med omsyn på z-aksen. Det same kan vi seie om tettleiken ( [tex]\rho[/tex] ) ettersom denne er uavhengig av retningsvinkelen [tex]\varphi[/tex]. Desse betraktningane viser
klart og tydeleg at massesenteret ligge på z-aksen.
Vidare ser vi at tettleiken [tex]\rho[/tex] = r + z aukar når vi går oppover langs z-aksen ( sylinderaksen ). Det betyr at
den delen av sylinderen som ligg over midtpunktet z = 3.5 har større masse enn den delen som ligg under. Altså må z-koordinaten til massesenteret vere større enn 3.5. I følgje dine utrekningar får vi

z = [tex]\frac{168}{41}[/tex] > 3.5 ( eit rimeleg resultat )
Fysikkgjest offline

Re: Massesenter

Innlegg Freia » 02/03-2020 19:33

Fysikkgjest skrev:Gledeleg å høyre at du har kome i mål. Vil gjerne legge til at vi kan sjekke sluttresultatet ved ein relativt enkel figuranalyse:

Romfiguren er ein sylinder med radius r = 5 og høgde h = 7. Den sirkelforma grunnflata ligg i xy-planet og har sentrum i origo.
Sylinderaksen går langs z-aksen , dvs. romfiguren er rotasjonssymmetrisk med omsyn på z-aksen. Det same kan vi seie om tettleiken ( [tex]\rho[/tex] ) ettersom denne er uavhengig av retningsvinkelen [tex]\varphi[/tex]. Desse betraktningane viser
klart og tydeleg at massesenteret ligge på z-aksen.
Vidare ser vi at tettleiken [tex]\rho[/tex] = r + z aukar når vi går oppover langs z-aksen ( sylinderaksen ). Det betyr at
den delen av sylinderen som ligg over midtpunktet z = 3.5 har større masse enn den delen som ligg under. Altså må z-koordinaten til massesenteret vere større enn 3.5. I følgje dine utrekningar får vi

z = [tex]\frac{168}{41}[/tex] > 3.5 ( eit rimeleg resultat )


Ting er veldig mye klarere nå, tusen takk! Har fortsatt et stykke å gå før jeg klarer å løse alle dobbel- og trippelintegraler på egenhånd, sliter litt med å finne ut hva som skal bli til grenser, og hva som blir integrand. Spesielt etter vi innførte alle substitusjonene med Jacobi, og de forskjellige koordinatene :roll: men heldigvis ei lita stund til eksamen...:)
Freia offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 12/02-2020 16:24

Re: Massesenter

Innlegg Mattegjest » 03/03-2020 23:17

Bruk av polarkoordinatar i dobbel- og trippelintegral ( ein kortfatta oversikt )

Polarkoordinatar i planet har desse variablane : r og rotasjonsvinkel [tex]\varphi[/tex]

x = r cos[tex]\varphi[/tex] og y = r sin[tex]\varphi[/tex]

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = r[tex]^{2}[/tex]

Polarkoordinatar i planet vert også kalla sirkelkoordinatar. Grunnen er ganske openbar: Dersom vi skal integrere over
ei sirkelforma flate( eller delar av denne ) , løner det seg å innføre polarkoordinatar.
Når vi går frå ( x , y ) [tex]\rightarrow[/tex] ( r , [tex]\varphi[/tex] ) , får vi ein omrekningsfaktor ( også kalla Jakobideterminanten ) som er lik r. Denne gir flateelementet

dA = r dr d[tex]\varphi[/tex]

Sylinderkoordinatar har ein z-koordinat ( " høgda på sylinderen " ) i tillegg til koordinatane( r og [tex]\varphi[/tex] ) vi brukar til å beskrive grunnflata ( sirkelen ).

Volumelementet dV = dA [tex]\cdot[/tex]dz = r dr d[tex]\varphi[/tex] dz
Når er det hensiktmessig å innføre sylinderkoordinatar ?

Kan ikkje gi noko generelt svar. Men kan seie at sylinderkoordinatar forenklar reknearbeidet når vi integrerer over ein romfigur der snittflata parallell xy-planet( evt. xz- eller yz-planet ) er ein sirkel.
Oppgåva som blei posta tidlegare i dag( Integral med absoluttverdi ) kan vere eit illustrerende eksempel i så måte.

Kulekoordinatar ( sfæriske polarkoordinatar ) har tre variable: r , [tex]\theta[/tex] og [tex]\varphi[/tex]

r: Avstanden( radien ) frå origo til eit vilkårleg punkt P( x , y , z ) på kuleflata.
[tex]\theta[/tex] : Vinkelen mellom [tex]\overrightarrow{r}[/tex] ( [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] ) og positiv z-akse ( 0 [tex]\leqslant[/tex] [tex]\theta[/tex] [tex]\leqslant[/tex] [tex]\pi[/tex] )

[tex]\varphi[/tex] : Vinkelen mellom positiv x-akse og projeksjonen av [tex]\left | \overrightarrow{r} \right |[/tex] på xy-planet ( 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\varphi[/tex] [tex]\leqslant[/tex] 2[tex]\pi[/tex] )

x ( kartesisk koordinat ) = r sin[tex]\theta[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] ( r sin[tex]\theta[/tex] = projeksjonen (" skuggen " ) av kuleradius ( r ) på xy-planet )



y = r sin[tex]\theta[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

z = r cos[tex]\theta[/tex]

Når vi går frå kartesiske ( x , y , z ) [tex]\rightarrow[/tex] sfæriske ( r , [tex]\theta[/tex] , [tex]\varphi[/tex] ) koordinatar, får vi ein "omrekningsfaktor" ( Jakobideterminant ) lik r[tex]^{2}[/tex]sin[tex]\theta[/tex]
Denne gir volumelementet

dV = r[tex]^{2}[/tex] sin[tex]\theta[/tex] dr d[tex]\theta[/tex] d[tex]\varphi[/tex]

MERK ! Bruk av kulekoordinatar forenklar reknearbeidet ganske betrakteleg når vi integrerer over ein kuleforma
romfigur ( eller delar av denne ).
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 58 gjester