Legger ved to små oppgaver for å lette litt på stemningen på forumet, den første er fint mulig å løse av VGS elever om de stanger hodet i veggen lenge nok, mens den siste er nok noe vanskeligere. Ja, jeg vet at sistnevnte har blitt tatt opp før, men en reprise har vel aldri skadet noen? =)
a) Bestem den største absoluttverdien uttrykket
[tex]\frac{(30 - 40 i)^n}{n!}\qquad n \in \mathbb{N}[/tex]
kan ha.
b) Du står på en klippe og balanserer på en enhjørningr, drikker karsk og kaster apekatter (se vedlagt bildet). Målet ditt er å treffe en ørliten flaske 75 meter lengre nede med apekatten du holder.
Første gang du kaster er sannsynligheten for å treffe flasken 1%, neste gang du kaster har du en 2% sannsynlighet for å treffe flasken, både grunnet karsk og tidligere erfaringer. For hver gang du kaster, øker sannsynlighten for å treffe med 1%. Etter hvor mange kast er det mest sannsynlig at du treffer flasken med apekatten?
Du har forøvrig [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] antall apekatter å kaste.
Rekker og sannsynlighet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 30/10-2012 22:37, redigert 3 ganger totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
Er jo en harmonisk rekke Alex!
b)
Tolker det dit hen at du stopper å kaste idet du treffer flasken første gang..
Sannsynligheten for å bruke ett kast er [tex]\frac{1}{100}[/tex]
Sannsynligheten for å bruke to kast er [tex]\frac{99}{100}\cdot\frac{2}{100}[/tex]
Sannsynligheten for å bruke n kast er dermed [tex]\frac{99!n}{(100-n)!)100^n}[/tex] der [tex]n\in[2,3,...,100][/tex].
Ved å maksimere [tex]\frac{n}{(100-n)!100^n}[/tex] finner vi antall kast som korresponderer med størst sannsynlighet. Beregning med plot av diskret sannsynlighetsfordeling i Python 2.6:
Plot:
Maksima etter 10 kast. Sannsynligheten er da 0.0628.
Oppfølger: Finn forventningsverdien til antall kast.
Tolker det dit hen at du stopper å kaste idet du treffer flasken første gang..
Sannsynligheten for å bruke ett kast er [tex]\frac{1}{100}[/tex]
Sannsynligheten for å bruke to kast er [tex]\frac{99}{100}\cdot\frac{2}{100}[/tex]
Sannsynligheten for å bruke n kast er dermed [tex]\frac{99!n}{(100-n)!)100^n}[/tex] der [tex]n\in[2,3,...,100][/tex].
Ved å maksimere [tex]\frac{n}{(100-n)!100^n}[/tex] finner vi antall kast som korresponderer med størst sannsynlighet. Beregning med plot av diskret sannsynlighetsfordeling i Python 2.6:
Kode: Velg alt
from __future__ import division
from math import factorial
from matplotlib.pyplot import plot, xlabel, ylabel, show
p=[1/100]
for n in range(2,101):
p.append(factorial(99)*n/(factorial(100-n)*100**n))
i=[j for j in range(1,101)]
plot(i,p,'*')
xlabel('Antall kast')
ylabel('Sannsynlighet')
show()
print max(p), p.index(max(p))
Maksima etter 10 kast. Sannsynligheten er da 0.0628.
Oppfølger: Finn forventningsverdien til antall kast.
-
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
En løsning til b som ikke krever pc
Anta at [tex]P_n[/tex] er sannsynligheten for å treffe på det n'te kastet.
Da er [tex]P_{n+1}=P_n\cdot \frac{100-n}{100}\cdot \frac{n+1}{n}[/tex]
Det medfører at sannsynligheten vil øke så lenge det [tex]P_n[/tex] ganges med er større enn 1. Hvilket gir:
[tex]\frac{(100-n)(n+1)}{100n}>1[/tex]
[tex]n^2+n-100<0[/tex]
Uttrykket har en rot mellom 9 og 10 og en mellom -11 og -10. Det følger at ulikheten ihvertfall er sann på [tex]I = [-10,9][/tex]
Og dermed er det størst sannsynlighet for å treffe på det 10 kastet som Plutarcos løsning bekrefter.
Anta at [tex]P_n[/tex] er sannsynligheten for å treffe på det n'te kastet.
Da er [tex]P_{n+1}=P_n\cdot \frac{100-n}{100}\cdot \frac{n+1}{n}[/tex]
Det medfører at sannsynligheten vil øke så lenge det [tex]P_n[/tex] ganges med er større enn 1. Hvilket gir:
[tex]\frac{(100-n)(n+1)}{100n}>1[/tex]
[tex]n^2+n-100<0[/tex]
Uttrykket har en rot mellom 9 og 10 og en mellom -11 og -10. Det følger at ulikheten ihvertfall er sann på [tex]I = [-10,9][/tex]
Og dermed er det størst sannsynlighet for å treffe på det 10 kastet som Plutarcos løsning bekrefter.