Rekker og sannsynlighet

[Nebuchadnezzar]

Legger ved to små oppgaver for å lette litt på stemningen på forumet, den første er fint mulig å løse av VGS elever om de stanger hodet i veggen lenge nok, mens den siste er nok noe vanskeligere. Ja, jeg vet at sistnevnte har blitt tatt opp før, men en reprise har vel aldri skadet noen? =)

a) Bestem den største absoluttverdien uttrykket

[tex]\frac{(30 - 40 i)^n}{n!}\qquad n \in \mathbb{N}[/tex]

kan ha.

b) Du står på en klippe og balanserer på en enhjørningr, drikker karsk og kaster apekatter (se vedlagt bildet). Målet ditt er å treffe en ørliten flaske 75 meter lengre nede med apekatten du holder.

Første gang du kaster er sannsynligheten for å treffe flasken 1%, neste gang du kaster har du en 2% sannsynlighet for å treffe flasken, både grunnet karsk og tidligere erfaringer. For hver gang du kaster, øker sannsynlighten for å treffe med 1%. Etter hvor mange kast er det mest sannsynlig at du treffer flasken med apekatten?

Du har forøvrig [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] antall apekatter å kaste.

[Aleks855]

Du har forøvrig [tex]\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{n}[/tex] antall apekatter å kaste.

Ingen apekatter?

[Andreas345]

Er jo en harmonisk rekke Alex!

[dan]

Poenget er at det vår gale summasjonsindekser. Skal vi vente litt før vi prøver oss på apekattene?

[Andreas345]

Så det nå

[Aleks855]

Hihi Nebu er vanligvis så rå på å påpeke småpirk. Må jo gi litt tilbake.

[Gustav]

b)

Tolker det dit hen at du stopper å kaste idet du treffer flasken første gang..

Sannsynligheten for å bruke ett kast er [tex]\frac{1}{100}[/tex]

Sannsynligheten for å bruke to kast er [tex]\frac{99}{100}\cdot\frac{2}{100}[/tex]

Sannsynligheten for å bruke n kast er dermed [tex]\frac{99!n}{(100-n)!)100^n}[/tex] der [tex]n\in[2,3,...,100][/tex].

Ved å maksimere [tex]\frac{n}{(100-n)!100^n}[/tex] finner vi antall kast som korresponderer med størst sannsynlighet. Beregning med plot av diskret sannsynlighetsfordeling i Python 2.6:

Kode: Velg alt

from __future__ import division
from math import factorial
from matplotlib.pyplot import plot, xlabel, ylabel, show

p=[1/100]

for n in range(2,101):
	p.append(factorial(99)*n/(factorial(100-n)*100**n))

i=[j for j in range(1,101)]

plot(i,p,'*')
xlabel('Antall kast')
ylabel('Sannsynlighet')
show()
print max(p), p.index(max(p))

Plot:



Maksima etter 10 kast. Sannsynligheten er da 0.0628.

Oppfølger: Finn forventningsverdien til antall kast.

[Brahmagupta]

En løsning til b som ikke krever pc

Anta at [tex]P_n[/tex] er sannsynligheten for å treffe på det n'te kastet.
Da er [tex]P_{n+1}=P_n\cdot \frac{100-n}{100}\cdot \frac{n+1}{n}[/tex]

Det medfører at sannsynligheten vil øke så lenge det [tex]P_n[/tex] ganges med er større enn 1. Hvilket gir:

[tex]\frac{(100-n)(n+1)}{100n}>1[/tex]

[tex]n^2+n-100<0[/tex]
Uttrykket har en rot mellom 9 og 10 og en mellom -11 og -10. Det følger at ulikheten ihvertfall er sann på [tex]I = [-10,9][/tex]
Og dermed er det størst sannsynlighet for å treffe på det 10 kastet som Plutarcos løsning bekrefter.

[dan]