Integral [VGS]

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Integral [VGS]

Innlegg Kay » 23/06-2017 17:13

Vet ikke helt om det har blitt løst på forumet før og det er ingenting superspennende, men et "gøy" integral som tester litt av R2-kunnskapene :lol:
[tex]I=\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}[/tex]

Det kan være nyttig å vite at:

[+] Skjult tekst
[tex]\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)[/tex]

siden dette, såvidt jeg vet, ikke står i R2 BOKA
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral [VGS]

Innlegg Gjest » 23/06-2017 17:22

I det siste har jeg sett mange nøtter postet på forumet, hvorfor poster dere høyskolenøtter her?? Hvorfor ikke barnetrinn og ungdomstrinn? kke gjør ting vanskelig, matematikk kan enten gjøres vanskelig for folk eller lett for folk.
Vær varsom med hva dere legger ut av nøtter å knekke, ingen gidder å knekke en nøtt som er vanskelig.

Gjør matematikk spennende og lett!! Ikke vanskelig!!

Del heller nøtter som er enkle, altså på barnetrinn eller ungdomsnivå. Ikke sleng med høyskole nøtter, det er ikke slik man skaper interessen for matematikk. Man gjør det ved å vise at matematikk er lett og ikke vanskelig!

Takk for forståelsen
Gjest offline

Re: Integral [VGS]

Innlegg Gjest » 23/06-2017 17:56

[tex]I=\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}}{2sin(x)\cdot cos(x)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{sin(x)}}{sin(x)}\frac{1}{cos(x)\cdot \sqrt{cos(x)}}dx[/tex]

hvor [tex]sin(2x)=sin(x+x)=\frac{1}{2}\cdot sin(x)\cdot cos(x)[/tex]


[tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}cos(x)\sqrt{cos(x)\cdot cos(x)}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{tan(x)}\cdot cos^2(x)}dx[/tex]

Det er ikke nødvendig å tenke på hintet i denne oppgaven. Hintet med sec, er egentlig ikke en "egen" trig. funksjon som sin, cos og tan. Den kan man bare bruke for å gjøre det mindre tidkrevende, men det er generelt aldri noen vits i å la seg forvirre av andre omskrivninger av kjente uttrykk. Så lenge man behersker de tre nevnte trig. funksjonene ovenfor, så kan man alltid løse slike oppgaver.

Vi vet generelt at [tex]tan(x)'=\frac{}1{cos^2(x)}[/tex]
Da kan vi bruke substitusjon. :)

[tex]u=tan(x)\Rightarrow du=\frac{1}{cos^2(x)}dx[/tex]

Dermed har vi

[tex]I=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{1}{\sqrt{tan(x)}}\cdot \frac{1}{cos^2(x)}dx \right )[/tex][tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\cdot u^{-1/2+1}+C=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot u^{1/2}+C[/tex]

[tex]I=\sqrt{u}+C[/tex]

[tex]I=\sqrt{tan(x)}+C[/tex]

For å løse dette integralet, må mn altså beherske de trigonometriske omskrivningene og definisjonene.
Gjest offline

Re: Integral [VGS]

Innlegg Gjest » 23/06-2017 17:59

Ser at det kom noe kluss i latexen. Det skal stå:
[tex]tan(x)'=\frac{1}{cos^2(x)}[/tex]
Gjest offline

Re: Integral [VGS]

Innlegg Kay » 24/06-2017 20:37

Gjest skrev:[tex]I=\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}}{2sin(x)\cdot cos(x)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{sin(x)}}{sin(x)}\frac{1}{cos(x)\cdot \sqrt{cos(x)}}dx[/tex]

hvor [tex]sin(2x)=sin(x+x)=\frac{1}{2}\cdot sin(x)\cdot cos(x)[/tex]


[tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}cos(x)\sqrt{cos(x)\cdot cos(x)}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{tan(x)}\cdot cos^2(x)}dx[/tex]

Det er ikke nødvendig å tenke på hintet i denne oppgaven. Hintet med sec, er egentlig ikke en "egen" trig. funksjon som sin, cos og tan. Den kan man bare bruke for å gjøre det mindre tidkrevende, men det er generelt aldri noen vits i å la seg forvirre av andre omskrivninger av kjente uttrykk. Så lenge man behersker de tre nevnte trig. funksjonene ovenfor, så kan man alltid løse slike oppgaver.

Vi vet generelt at [tex]tan(x)'=\frac{}1{cos^2(x)}[/tex]
Da kan vi bruke substitusjon. :)

[tex]u=tan(x)\Rightarrow du=\frac{1}{cos^2(x)}dx[/tex]

Dermed har vi

[tex]I=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{1}{\sqrt{tan(x)}}\cdot \frac{1}{cos^2(x)}dx \right )[/tex][tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\cdot u^{-1/2+1}+C=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot u^{1/2}+C[/tex]

[tex]I=\sqrt{u}+C[/tex]

[tex]I=\sqrt{tan(x)}+C[/tex]

For å løse dette integralet, må mn altså beherske de trigonometriske omskrivningene og definisjonene.



Sjølsagt riktig, og som du sier, sec er ikke nødvendigvis nødvendig å kunne, men synes bare det er ryddigere å kunne skrive at

[tex]I=\frac{1}{2} \int \frac{sec^2(x)}{\sqrt{tan(x)}}[/tex] som igjen gir [tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u}}[/tex]


Men som du sier er det jo bare å holde styr på sincostan så er jo alt strålende greit :)
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral [VGS]

Innlegg Gustav » 27/06-2017 01:02

Gjest skrev:I det siste har jeg sett mange nøtter postet på forumet, hvorfor poster dere høyskolenøtter her?? Hvorfor ikke barnetrinn og ungdomstrinn? kke gjør ting vanskelig, matematikk kan enten gjøres vanskelig for folk eller lett for folk.
Vær varsom med hva dere legger ut av nøtter å knekke, ingen gidder å knekke en nøtt som er vanskelig.

Gjør matematikk spennende og lett!! Ikke vanskelig!!

Del heller nøtter som er enkle, altså på barnetrinn eller ungdomsnivå. Ikke sleng med høyskole nøtter, det er ikke slik man skaper interessen for matematikk. Man gjør det ved å vise at matematikk er lett og ikke vanskelig!

Takk for forståelsen


Først vil jeg si at de aller fleste nøttene som postes i nøtteforumet faktisk er på vgs.nivå. Det er kun unntaksvis at det postes nøtter som krever kunnskap på høyskole- og universitetsnivå. Det betyr ikke at nøttene er enkle: mange av dem stiller ofte høye krav til kreativitet og smarte triks, men veldig få krever kjennskap til konkrete teoremer fra høyere matematikk. (Det skal sies at mange av nøttene her er vanskeligere enn standard øvingsoppgaver i emner på universitetsnivå, men de krever stort sett bare teori på vgs.nivå)

Jeg er enig med deg i at det ville vært bra å fått flere nøtter på ulike nivå, også på ungdomsskolenivå. Dette forumet er ikke helt ment for barneskolenivåmatematikk, så nøtter på det nivået tror jeg ikke vil være så aktuelt.

Hypotesen om at ingen gidder å løse en nøtt som er vanskelig er rett og slett bare tull. For mange vil nettopp vanskelige nøtter være det som motiverer til å bli enda flinkere i faget og til å lære mer. Du kan like gjerne snu på det å si at ingen gidder å løse en nøtt som er enkel. En enkel nøtt er heller ingen nøtt etter mitt syn.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4289
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester