![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
[tex]I=\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}[/tex]
Det kan være nyttig å vite at:
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Gjest skrev:[tex]I=\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}}{2sin(x)\cdot cos(x)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{sin(x)}}{sin(x)}\frac{1}{cos(x)\cdot \sqrt{cos(x)}}dx[/tex]
hvor [tex]sin(2x)=sin(x+x)=\frac{1}{2}\cdot sin(x)\cdot cos(x)[/tex]
[tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{sin(x)}{cos(x)}}cos(x)\sqrt{cos(x)\cdot cos(x)}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{tan(x)}\cdot cos^2(x)}dx[/tex]
Det er ikke nødvendig å tenke på hintet i denne oppgaven. Hintet med sec, er egentlig ikke en "egen" trig. funksjon som sin, cos og tan. Den kan man bare bruke for å gjøre det mindre tidkrevende, men det er generelt aldri noen vits i å la seg forvirre av andre omskrivninger av kjente uttrykk. Så lenge man behersker de tre nevnte trig. funksjonene ovenfor, så kan man alltid løse slike oppgaver.
Vi vet generelt at [tex]tan(x)'=\frac{}1{cos^2(x)}[/tex]
Da kan vi bruke substitusjon.
[tex]u=tan(x)\Rightarrow du=\frac{1}{cos^2(x)}dx[/tex]
Dermed har vi
[tex]I=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{1}{\sqrt{tan(x)}}\cdot \frac{1}{cos^2(x)}dx \right )[/tex][tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\cdot u^{-1/2+1}+C=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot u^{1/2}+C[/tex]
[tex]I=\sqrt{u}+C[/tex]
[tex]I=\sqrt{tan(x)}+C[/tex]
For å løse dette integralet, må mn altså beherske de trigonometriske omskrivningene og definisjonene.
Først vil jeg si at de aller fleste nøttene som postes i nøtteforumet faktisk er på vgs.nivå. Det er kun unntaksvis at det postes nøtter som krever kunnskap på høyskole- og universitetsnivå. Det betyr ikke at nøttene er enkle: mange av dem stiller ofte høye krav til kreativitet og smarte triks, men veldig få krever kjennskap til konkrete teoremer fra høyere matematikk. (Det skal sies at mange av nøttene her er vanskeligere enn standard øvingsoppgaver i emner på universitetsnivå, men de krever stort sett bare teori på vgs.nivå)Gjest skrev:I det siste har jeg sett mange nøtter postet på forumet, hvorfor poster dere høyskolenøtter her?? Hvorfor ikke barnetrinn og ungdomstrinn? kke gjør ting vanskelig, matematikk kan enten gjøres vanskelig for folk eller lett for folk.
Vær varsom med hva dere legger ut av nøtter å knekke, ingen gidder å knekke en nøtt som er vanskelig.
Gjør matematikk spennende og lett!! Ikke vanskelig!!
Del heller nøtter som er enkle, altså på barnetrinn eller ungdomsnivå. Ikke sleng med høyskole nøtter, det er ikke slik man skaper interessen for matematikk. Man gjør det ved å vise at matematikk er lett og ikke vanskelig!
Takk for forståelsen