5 ulikheter

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

5 ulikheter

Innlegg Gustav » 12/11-2017 03:00

1. $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Vis at $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ [LØST]

2. $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq 8$ [LØST]

3. $a,b,c\in\mathbb{R}$. Vis at $2a^2+3b^2+6c^2\geq (a+b+c)^2$ [LØST]

4. $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Vis at $\frac{2}{a+b}+ \frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq \frac{9}{a+b+c}$ [LØST]

5. $a,b,c,d\in\mathbb{R}^+$. Vis at $a^5+b^5+c^5+d^5\geq abcd(a+b+c+d)$

Hint på 5:
[+] Skjult tekst
Vis først at $a^5+b^5+c^5+d^5\geq \frac14 (a^4+b^4+c^4+d^4)(a+b+c+d)$


Edit: Hint lagt til
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 5 ulikheter

Innlegg OYV » 12/11-2017 13:53

Ulikhet 1): Påstand: (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= b/a + a/c + c/b

Bevis: Anvender 2. kvadratsetning og får disse ulikhetene

1) (a/b)^2 + (b/c)^2 >= 2* a/c

2) (a/b)^2 + (c/a)^2 >= 2 * c/a

3) (b/c)^2 + (c/a)^2 >= 2 * b/a

Summerer V.S. og H.S. hver for seg og får

2( (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 ) >= 2 (b/a + a/c + c/ b)

Deler med 2 på begge sider og får

(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= b/a + a/c + c/b ( s.s.v. )

Ulikheten gjelder for alle reelle tall (gitt at a , b og c er forskjellig fra null )
OYV offline

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gustav » 12/11-2017 16:16

Perfekt
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 5 ulikheter

Innlegg Emilga » 12/11-2017 18:30

Gustav skrev:2. $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq 8$


Vi ser på uttrykket: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})$

Ganger ut og rydder opp:

$abc + \frac 1{abc} + a + \frac 1a + b + \frac 1b + c + \frac 1c$.

Ser nå på funksjonen $f(x) = x + \frac 1x$.

$f^\prime(x) = 1 - \frac 1{x^2} = 0$ for $x = \pm 1$.

Har også $f^{\prime \prime}(x) = \frac 2{x^3} > 0$ for $x>0$.

Altså er $f(1) = 1 + \frac 11 = 2$ et bunnpunkt til $f$ for $x>0$.

Altså har vi:
$abc + \frac 1{abc} \geq 2$

$a + \frac 1a \geq 2$

$b + \frac 1b \geq 2$

$b + \frac 1b \geq 2$

Kombinerer:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) = abc + \frac 1{abc} + a + \frac 1a + b + \frac 1b + c + \frac 1c \geq 2 + 2 + 2 + 2 = 8$

Som skulle vises.

EDIT: Redigert * til +
Sist endret av Emilga den 12/11-2017 18:54, endret 1 gang
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1413
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg OYV » 12/11-2017 18:43

Emilol påstår at produktet

( a + 1/b)( b + 1/c )( c + 1/a) >= 16

Denne påstanden er lett å tilbakevise: Eks. a = b = c = gir (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) = (a + 1/a)^3 = 8 når a = 1
OYV offline

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gustav » 12/11-2017 18:52

Emomilol skrev:
Gustav skrev:2. $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq 8$


Vi ser på uttrykket: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})$

Ganger ut og rydder opp:

$abc + \frac 1{abc} + a + \frac 1a + b + \frac 1b + c + \frac 1c$.

Ser nå på funksjonen $f(x) = x + \frac 1x$.

$f^\prime(x) = 1 - \frac 1{x^2} = 0$ for $x = \pm 1$.

Har også $f^{\prime \prime}(x) = \frac 2{x^3} > 0$ for $x>0$.

Altså er $f(1) = 1 + \frac 11 = 2$ et bunnpunkt til $f$ for $x>0$.

Altså har vi:
$abc + \frac 1{abc} \geq 2$

$a + \frac 1a \geq 2$

$b + \frac 1b \geq 2$

$b + \frac 1b \geq 2$

Kombinerer:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) = abc + \frac 1{abc} + a + \frac 1a + b + \frac 1b + c + \frac 1c \geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16 \geq 8$

Som skulle vises.


Siste linje skal vel være $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) = abc + \frac 1{abc} + a + \frac 1a + b + \frac 1b + c + \frac 1c \geq 2+ 2+ 2+2 = 8$.

Bortsett fra det er løsningen riktig!

Det hele kan dog vises i en one-liner.

Hint:
[+] Skjult tekst
AM-GM på hver faktor
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 5 ulikheter

Innlegg Emilga » 12/11-2017 18:55

Takk for korreksjonen OYV og Gustav!

Ja, jeg brukte gange når jeg skulle brukt pluss.

Ble litt grådig der, hehe. :lol:
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1413
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg Emilga » 12/11-2017 19:15

Bruker hint fra Gustav.

AM-GM: $x+y \geq 2 \sqrt{xy}$.

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 2\sqrt{a\cdot \frac 1b} \cdot 2\sqrt{b\cdot \frac 1c} \cdot 2\sqrt{c\cdot \frac 1a} = 8 \sqrt{\frac{abc}{abc} } = 8$
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1413
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg Markus » 12/11-2017 19:18

EDIT: Snipet av Emolilol :P , dessuten er min framgangsmåte mye lengre enn Emolilol sin.
EDIT 2: Takk til Emolilol for å påpeke feil, har rettet opp nå. Dessuten var ikke den originale konklusjonen korrekt uansett.

Prøver meg på 2 med AM-GM:

Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{a \cdot \frac{1}{b}} \enspace \Rightarrow \enspace a+\frac{1}{b} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{b}}$

$\frac{b+\frac{1}{c}}{2} \geq \sqrt{b \cdot \frac{1}{c}} \enspace \Rightarrow \enspace b+\frac{1}{c} \geq 2\sqrt{b \cdot \frac{1}{c}}$

$\frac{c+\frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{c \cdot \frac{1}{a}} \enspace \Rightarrow \enspace c+\frac{1}{a} \geq 2\sqrt{c \cdot \frac{1}{a}}$

Derfor har vi at;
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{b}} \cdot 2\sqrt{b \cdot \frac{1}{c}} \cdot 2\sqrt{c \cdot \frac{1}{a}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 8 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 8 \sqrt{\frac{abc}{abc}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 8$

Som var det vi ønsket å bevise.
Sist endret av Markus den 12/11-2017 21:43, endret 1 gang
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gjest » 12/11-2017 19:25

Ulikhet 4:
La
[tex]x=\frac{2}{a+b}, \ y=\frac{2}{b+c}, \ z=\frac{2}{c+a}[/tex]
Da har vi
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a+b+c[/tex]
Derfor, etter å dele på tre på begge sider, blir ulikheten
[tex]\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}[/tex]
Og dette er rett og slett AM-HM ulikheten (aritmetisk snitt>= harmonisk snitt).
Gjest offline

Re: 5 ulikheter

Innlegg Emilga » 12/11-2017 19:36

Markus skrev:Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{a+\frac{1}{b}} \enspace \Rightarrow \enspace a+\frac{1}{b} \geq 2\sqrt{a+\frac{1}{b}}$


Husk at AM-GM-ulikheten sier at: $\frac{a + \frac 1b}2 \geq \sqrt{a\cdot \frac 1b} \neq \sqrt{a + \frac ab}$.

Siden det geometriske snittet er: $\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1413
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gjest » 12/11-2017 20:16

Ulikhet 3
Vi har følgende ulikheter:
[tex]0 \leq \frac{2}{3}(a-\frac{3}{2}b)^2=\frac{2}{3}a^2-2ab+\frac{3}{2}b^2[/tex]
[tex]0 \leq \frac{1}{3}(a-3c)^2=\frac{1}{3}a^2-2ac+3c^2[/tex]
[tex]0 \leq \frac{1}{2}(b-2c)^2=\frac{1}{2}b^2-2bc+2c^2[/tex]
Legger vi sammen disse får vi
[tex]a^2+2b^2+5c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0[/tex]
legger vi så til [tex](a+b+c)^2[/tex] på begge sider får vi ulikheten.
Gjest offline

Re: 5 ulikheter

Innlegg Markus » 12/11-2017 21:37

Emomilol skrev:
Markus skrev:Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{a+\frac{1}{b}} \enspace \Rightarrow \enspace a+\frac{1}{b} \geq 2\sqrt{a+\frac{1}{b}}$


Husk at AM-GM-ulikheten sier at: $\frac{a + \frac 1b}2 \geq \sqrt{a\cdot \frac 1b} \neq \sqrt{a + \frac ab}$.

Siden det geometriske snittet er: $\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$.


Selvfølgelig! Dessuten ser jeg at jeg ikke har vist at ulikheten stemmer i det hele tatt da produktet av røttene kunne ha blitt $< 1$, og da hadde hele høyresiden blitt $< 8$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gustav » 13/11-2017 00:13

Gjest skrev:Ulikhet 3
Vi har følgende ulikheter:
[tex]0 \leq \frac{2}{3}(a-\frac{3}{2}b)^2=\frac{2}{3}a^2-2ab+\frac{3}{2}b^2[/tex]
[tex]0 \leq \frac{1}{3}(a-3c)^2=\frac{1}{3}a^2-2ac+3c^2[/tex]
[tex]0 \leq \frac{1}{2}(b-2c)^2=\frac{1}{2}b^2-2bc+2c^2[/tex]
Legger vi sammen disse får vi
[tex]a^2+2b^2+5c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0[/tex]
legger vi så til [tex](a+b+c)^2[/tex] på begge sider får vi ulikheten.


Fin løsning!

Edit: Alternativt er ulikheten ekvivalent med $(\sqrt{\frac12}^2+\sqrt{\frac13}^2+\sqrt{\frac16}^2)((\sqrt{2}a)^2+(\sqrt{3}b)^2+(\sqrt{6}c)^2)\geq (a+b+c)^2$ som følger av Cauchy-Schwarz.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 5 ulikheter

Innlegg Gustav » 13/11-2017 15:34

Gjest skrev:Ulikhet 4:
La
[tex]x=\frac{2}{a+b}, \ y=\frac{2}{b+c}, \ z=\frac{2}{c+a}[/tex]
Da har vi
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a+b+c[/tex]
Derfor, etter å dele på tre på begge sider, blir ulikheten
[tex]\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}[/tex]
Og dette er rett og slett AM-HM ulikheten (aritmetisk snitt>= harmonisk snitt).


Fint!

Alternativt er ulikheten ekvivalent med $\left ((a+b)+(b+c)+(c+a)\right )(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq (\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c+a}}{\sqrt{c+a}})^2=(1+1+1)^2=9$ som følger av Cauchy-Schwarz.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester