5 ulikheter

[Gustav]

1. $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ [LØST]

2. $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8$ [LØST]

3. $a,b,c\in \mathbb{R}$. Vis at $2a^2+3b^2+6c^2\ge (a+b+c{)}^2$ [LØST]

4. $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\ge \frac{9}{a+b+c}$ [LØST]

5. $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $a^5+b^5+c^5+d^5\ge abcd(a+b+c+d)$

Hint på 5:

[+] Skjult tekst

Vis først at $a^5+b^5+c^5+d^5\ge \frac{1}{4}(a^4+b^4+c^4+d^4)(a+b+c+d)$

Edit: Hint lagt til

[OYV]

Ulikhet 1): Påstand: (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= b/a + a/c + c/b

Bevis: Anvender 2. kvadratsetning og får disse ulikhetene

1) (a/b)^2 + (b/c)^2 >= 2* a/c

2) (a/b)^2 + (c/a)^2 >= 2 * c/a

3) (b/c)^2 + (c/a)^2 >= 2 * b/a

Summerer V.S. og H.S. hver for seg og får

2( (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 ) >= 2 (b/a + a/c + c/ b)

Deler med 2 på begge sider og får

(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= b/a + a/c + c/b ( s.s.v. )

Ulikheten gjelder for alle reelle tall (gitt at a , b og c er forskjellig fra null )

[Gustav]

Perfekt

[Emilga]

2. $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8$

Vi ser på uttrykket: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})$

Ganger ut og rydder opp:

$abc+\frac{1}{abc}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}$.

Ser nå på funksjonen $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ for $x=\pm 1$.

Har også $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}>0$ for $x>0$.

Altså er $f(1)=1+\frac{1}{1}=2$ et bunnpunkt til $f$ for $x>0$.

Altså har vi:
$abc+\frac{1}{abc}\ge 2$

$a+\frac{1}{a}\ge 2$

$b+\frac{1}{b}\ge 2$

$b+\frac{1}{b}\ge 2$

Kombinerer:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 2+2+2+2=8$

Som skulle vises.

EDIT: Redigert * til +

[OYV]

Emilol påstår at produktet

( a + 1/b)( b + 1/c )( c + 1/a) >= 16

Denne påstanden er lett å tilbakevise: Eks. a = b = c = gir (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) = (a + 1/a)^3 = 8 når a = 1

[Gustav]

2. $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vis at $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8$

Vi ser på uttrykket: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})$

Ganger ut og rydder opp:

$abc+\frac{1}{abc}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}$.

Ser nå på funksjonen $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ for $x=\pm 1$.

Har også $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}>0$ for $x>0$.

Altså er $f(1)=1+\frac{1}{1}=2$ et bunnpunkt til $f$ for $x>0$.

Altså har vi:
$abc+\frac{1}{abc}\ge 2$

$a+\frac{1}{a}\ge 2$

$b+\frac{1}{b}\ge 2$

$b+\frac{1}{b}\ge 2$

Kombinerer:
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\ge 8$

Som skulle vises.

Siste linje skal vel være $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 2+2+2+2=8$.

Bortsett fra det er løsningen riktig!

Det hele kan dog vises i en one-liner.

Hint:

[+] Skjult tekst

AM-GM på hver faktor

[Emilga]

Takk for korreksjonen OYV og Gustav!

Ja, jeg brukte gange når jeg skulle brukt pluss.

Ble litt grådig der, hehe.

[Emilga]

Bruker hint fra Gustav.

AM-GM: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$.

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}\cdot 2\sqrt{b\cdot \frac{1}{c}}\cdot 2\sqrt{c\cdot \frac{1}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8$

[Markus]

EDIT: Snipet av Emolilol , dessuten er min framgangsmåte mye lengre enn Emolilol sin.
EDIT 2: Takk til Emolilol for å påpeke feil, har rettet opp nå. Dessuten var ikke den originale konklusjonen korrekt uansett.

Prøver meg på 2 med AM-GM:

Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}\Rightarrow a+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}$

$\frac{b+\frac{1}{c}}{2}\ge \sqrt{b\cdot \frac{1}{c}}\Rightarrow b+\frac{1}{c}\ge 2\sqrt{b\cdot \frac{1}{c}}$

$\frac{c+\frac{1}{a}}{2}\ge \sqrt{c\cdot \frac{1}{a}}\Rightarrow c+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{c\cdot \frac{1}{a}}$

Derfor har vi at;
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}\cdot 2\sqrt{b\cdot \frac{1}{c}}\cdot 2\sqrt{c\cdot \frac{1}{a}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8\sqrt{\frac{abc}{abc}}$
$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\ge 8$

Som var det vi ønsket å bevise.

[Guest]

Ulikhet 4:
La
$x=\frac{2}{a+b},y=\frac{2}{b+c},z=\frac{2}{c+a}$
Da har vi
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a+b+c$
Derfor, etter å dele på tre på begge sider, blir ulikheten
$\frac{x+y+z}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
Og dette er rett og slett AM-HM ulikheten (aritmetisk snitt>= harmonisk snitt).

[Emilga]

Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{a+\frac{1}{b}}\Rightarrow a+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{a+\frac{1}{b}}$

Husk at AM-GM-ulikheten sier at: $\frac{a+\frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}\ne \sqrt{a+\frac{a}{b}}$.

Siden det geometriske snittet er: $\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$.

[Guest]

Ulikhet 3
Vi har følgende ulikheter:
$0\le \frac{2}{3}(a-\frac{3}{2}b{)}^2=\frac{2}{3}{a}^2-2ab+\frac{3}{2}{b}^2$
$0\le \frac{1}{3}(a-3c{)}^2=\frac{1}{3}{a}^2-2ac+3c^2$
$0\le \frac{1}{2}(b-2c{)}^2=\frac{1}{2}{b}^2-2bc+2c^2$
Legger vi sammen disse får vi
$a^2+2b^2+5c^2-2ab-2ac-2bc\ge 0$
legger vi så til $(a+b+c{)}^2$ på begge sider får vi ulikheten.

[Markus]

Av AM-GM-ulikheten vet vi at:
$\frac{a+\frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{a+\frac{1}{b}}\Rightarrow a+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{a+\frac{1}{b}}$

Husk at AM-GM-ulikheten sier at: $\frac{a+\frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{a\cdot \frac{1}{b}}\ne \sqrt{a+\frac{a}{b}}$.

Siden det geometriske snittet er: $\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$.

Selvfølgelig! Dessuten ser jeg at jeg ikke har vist at ulikheten stemmer i det hele tatt da produktet av røttene kunne ha blitt $<1$, og da hadde hele høyresiden blitt $<8$.

[Gustav]

Ulikhet 3
Vi har følgende ulikheter:
$0\le \frac{2}{3}(a-\frac{3}{2}b{)}^2=\frac{2}{3}{a}^2-2ab+\frac{3}{2}{b}^2$
$0\le \frac{1}{3}(a-3c{)}^2=\frac{1}{3}{a}^2-2ac+3c^2$
$0\le \frac{1}{2}(b-2c{)}^2=\frac{1}{2}{b}^2-2bc+2c^2$
Legger vi sammen disse får vi
$a^2+2b^2+5c^2-2ab-2ac-2bc\ge 0$
legger vi så til $(a+b+c{)}^2$ på begge sider får vi ulikheten.

Fin løsning!

Edit: Alternativt er ulikheten ekvivalent med $({\sqrt{\frac{1}{2}}}^2+{\sqrt{\frac{1}{3}}}^2+{\sqrt{\frac{1}{6}}}^2)((\sqrt{2}a{)}^2+(\sqrt{3}b{)}^2+(\sqrt{6}c{)}^2)\ge (a+b+c{)}^2$ som følger av Cauchy-Schwarz.

[Gustav]

Ulikhet 4:
La
$x=\frac{2}{a+b},y=\frac{2}{b+c},z=\frac{2}{c+a}$
Da har vi
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a+b+c$
Derfor, etter å dele på tre på begge sider, blir ulikheten
$\frac{x+y+z}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
Og dette er rett og slett AM-HM ulikheten (aritmetisk snitt>= harmonisk snitt).

Fint!

Alternativt er ulikheten ekvivalent med $((a+b)+(b+c)+(c+a))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\ge (\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c+a}}{\sqrt{c+a}}{)}^2=(1+1+1{)}^2=9$ som følger av Cauchy-Schwarz.