Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er
[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
Ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhetKay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er
[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er
$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,
der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.
Var Schwarz' som var tanken her, ja. Fint.Gustav skrev:Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhetKay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er
[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]
$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er
$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,
der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.