Julekalender #17

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Julekalender #17

Innlegg Gustav » 17/12-2017 20:25

La $p(x)$ være et polynom av grad $n$ slik at $p(x)\geq 0$ for alle reelle $x$. Vis at


$p(x)+p'(x)+p''(x)+...+p^{(n)}(x)\geq 0$ for alle reelle $x$.


($p^{(k)}(x)$ er den k-te deriverte av $p(x)$)

Hint:
[+] Skjult tekst
Her kan $n$ antas å være partall. I tillegg er ledende koeffisient positiv og konstantleddet er ikkenegativt


Hint 2:
[+] Skjult tekst
Bruk ekstremalprinsippet http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... _principle i kombinasjon med kontradiksjonsbevis


Edit: Hint lagt til
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Julekalender #17

Innlegg mingjun » 19/12-2017 15:22

Skriv $P(x)=\sum_{i=0}^{n} p^{(i)}(x)$. For motsigelse, antat at $P(x)$ oppnår sin minimale verdi ved $x=a$, og $P(a)<0$. Men det impliserer at $P'(a)=P(a)-p(a)<0$, som videre betyr at $P(x)$ må være strengt synkende i $x=a$. Altså har vi en motsigelse.

Edit: For å kunne å anta at en global minima eksisterer for $P$ er vi nødt til å peke ut at $P$ er av jevn grad og har en positiv ledende koeffisient, men det er lett å vise.
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: Julekalender #17

Innlegg Gustav » 19/12-2017 19:44

Ser bra ut!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 18 gjester