Julekalender #17

[Gustav]

La $p(x)$ være et polynom av grad $n$ slik at $p(x)\ge 0$ for alle reelle $x$. Vis at


$p(x)+p^{\prime }(x)+p^{″}(x)+...+p^{(n)}(x)\ge 0$ for alle reelle $x$.


($p^{(k)}(x)$ er den k-te deriverte av $p(x)$)

Hint:

[+] Skjult tekst

Her kan $n$ antas å være partall. I tillegg er ledende koeffisient positiv og konstantleddet er ikkenegativt

Hint 2:

[+] Skjult tekst

Bruk ekstremalprinsippet http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... _principle i kombinasjon med kontradiksjonsbevis

Edit: Hint lagt til

[mingjun]

Skriv $P(x)=\sum _{i=0}^n{p}^{(i)}(x)$. For motsigelse, antat at $P(x)$ oppnår sin minimale verdi ved $x=a$, og $P(a)<0$. Men det impliserer at $P^{\prime }(a)=P(a)-p(a)<0$, som videre betyr at $P(x)$ må være strengt synkende i $x=a$. Altså har vi en motsigelse.

Edit: For å kunne å anta at en global minima eksisterer for $P$ er vi nødt til å peke ut at $P$ er av jevn grad og har en positiv ledende koeffisient, men det er lett å vise.

[Gustav]

Ser bra ut!