Tall

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tall

Innlegg Gustav » 30/01-2018 05:53

Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tall

Innlegg Mattegjest » 30/01-2018 10:52

Talet n kan skrivast på forma

n = 100x + 10y + 2 ( siste sifferet må vere lik 2 )

x = 0 ( tosiffra tal ) gir inga løysing.

Prøver med x = 1 og let y variere frå 0 til 9. Får "match" på y = 9

Svar: Minste tal n = 192

P.S. Dette er neppe den mest elegante løysinga.
Mattegjest offline

Re: Tall

Innlegg Mattegjest » 30/01-2018 11:15

Problemet kan truleg løysast som ei diofantisk likning:

n[tex]^3[/tex] - 888 = 1000k som er ekvivalent med at

n[tex]^3[/tex] = 1000k + 888 = (2*5)[tex]^3[/tex] * k + 2[tex]^3[/tex] * 3 * 37 , k element i Z.
Mattegjest offline

Re: Tall

Innlegg Mattegjest » 30/01-2018 13:03

Viser til førre innlegg .

n[tex]^3[/tex] = 2[tex]^3[/tex](125k + 111 ).

Oppgåva blir da å bestemme det minste heiltalet k som er slik at

125k + 111 er eit kubikktal.

Mine kunnskapar i talteori strekk ikkje til for å løyse dette problemet. Difor let eg utfordringa gå vidare til deg som meistrar denne delen av matematikken.
Mattegjest offline

Re: Tall

Innlegg Janhaa » 30/01-2018 17:06

Gustav skrev:Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.

[tex]n^3 \equiv 888 \pmod{1000}[/tex]
dvs
[tex]n \equiv 192 \pmod{250}[/tex]
altså minste
[tex]n = 192[/tex]
der
[tex]192^3=7077888[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7770
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Tall

Innlegg Gustav » 30/01-2018 17:16

192 er riktig!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tall

Innlegg Mattegjest » 30/01-2018 18:51

Løysinga til Janhaa fanga interessa. Første steget

n[tex]^3[/tex] kongruensteikn 888 (mod 1000 ) er trivielt. OK !

Men eg skjønar ikkje overgangen til steg 2:

n kongruensteikn 192 ( mod 250 )

Kan Janhaa gjere vel å forklare resonnementet som ligg til grunn for denne slutninga ?
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 39 gjester