Tall

[Gustav]

Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.

[Mattebruker]

Talet n kan skrivast på forma

n = 100x + 10y + 2 ( siste sifferet må vere lik 2 )

x = 0 ( tosiffra tal ) gir inga løysing.

Prøver med x = 1 og let y variere frå 0 til 9. Får "match" på y = 9

Svar: Minste tal n = 192

P.S. Dette er neppe den mest elegante løysinga.

[Mattebruker]

Problemet kan truleg løysast som ei diofantisk likning:

n${}^3$ - 888 = 1000k som er ekvivalent med at

n${}^3$ = 1000k + 888 = (2*5)${}^3$ * k + 2${}^3$ * 3 * 37 , k element i Z.

[Mattebruker]

Viser til førre innlegg .

n${}^3$ = 2${}^3$(125k + 111 ).

Oppgåva blir da å bestemme det minste heiltalet k som er slik at

125k + 111 er eit kubikktal.

Mine kunnskapar i talteori strekk ikkje til for å løyse dette problemet. Difor let eg utfordringa gå vidare til deg som meistrar denne delen av matematikken.

[Janhaa]

Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.

$n^3\equiv 888(\mathrm{mod}1000)$
dvs
$n\equiv 192(\mathrm{mod}250)$
altså minste
$n=192$
der
${192}^3=7077888$

[Gustav]

192 er riktig!

[Mattebruker]

Løysinga til Janhaa fanga interessa. Første steget

n${}^3$ kongruensteikn 888 (mod 1000 ) er trivielt. OK !

Men eg skjønar ikkje overgangen til steg 2:

n kongruensteikn 192 ( mod 250 )

Kan Janhaa gjere vel å forklare resonnementet som ligg til grunn for denne slutninga ?