Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Ser straks at dette er ein ulikskap av typen Jensen.
Innfører hjelpefunksjonen
f( u ) = 1/u , u > 0
Funksjonen f er konveks ( f''( u ) >0 i heile R[tex]_+[/tex]). Jensen gir då
( f( x - 1) + f( x ) + f( x + 1 ) )/3 > f(( x -1 + x + x + 1)/3 ) = f(x) = 1/x
Her ligg løysinga heilt " oppe i dagen ", i motsetnad til det problemet Gustav presenterte
i dette forumet for nokre dagar sidan: Sitat: For parvis distinkte , ikkje-negative reelle tal , a , b og c , vis at
a[tex]^2[/tex]/(b - c )[tex]^2[/tex] + b[tex]^2[/tex]/(c - a )[tex]^2[/tex] + c[tex]^2[/tex]/( b - a )[tex]^2[/tex] > 2
( x + y + z ) /2 <= x^2/(y + z ) + y^2/(x + z ) + z^2/(x + y )
Løysing: Meiner at ulikskapen følgjer av Cauchy-Schwarz.
Innfører desse talfølgjene:
a[tex]_1[/tex] = x/(rota av(y + z)) o.s.v.
b[tex]_1[/tex] = rota av (y + z ) o.s.v.
Cauchy-Schwarz gir då sum ((a[tex]_i[/tex])[tex]^2[/tex]) * sum((b[tex]_i[/tex])[tex]^2[/tex] >= sum(a[tex]_i[/tex]*b[tex]_i[/tex]) = ( x + y + z )[tex]^2[/tex] som er ekvivalent med
(x^2/(y + z ) + y^2/(x + z ) + z^2/(x + y ) * 2(x + y + z ) >= (x + y + z )^2
Deler med (x + y + z ) på begge sider og får ulikskapen vi skulle vise.
jhoe06 skrev:Følger av Jensen med $ f(x) = \frac{1}{x} $ siden ulikheten kan skrives som
$$ \frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{3x} + \frac{1}{3(x+1)} > \frac{1}{\frac{(x-1)+x+(x+1)}{3}} . $$
Korrekt! Renessansematematikeren Pietro Mengoli løste den visstnok på 1600-tallet kun ved hjelp av algebra. Det kan være en ekstra utfordring.
Oppfølger: La $a,b,c,d$ være positive reelle tall. Vis at $\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt{\frac{ab+bc+cd+da}{4}}$
Gustav skrev:
Renessansematematikeren Pietro Mengoli løste den visstnok på 1600-tallet kun ved hjelp av algebra. Det kan være en ekstra utfordring.
Fellesnevner blir $(x-1)x(x+1)=x(x^2-1)$, og ulikheten blir $$\frac{x(x+1) + (x+1)(x-1) + (x-1)x}{x(x^2-1)} \geq \frac{3(x-1)(x+1)}{x(x^2-1)} \\ \therefore x^2+x+x^2-1+x^2-x \geq 3x^2 - 3 \\ \therefore 3x^2-1 \geq 3x^2-3$$ Som åpenbart er sant. Med ulikheten her ga Mengoli for øvrig en av de første bevisene på at den harmoniske rekken $1+ \frac12 + \frac13 + \dots$ divergerer, som også kan være en ekstra utfordring for den ekstra interesserte.
Alternativ kunne man også brukt AM-HM på denne. $$\frac{\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}}{3} \geq \frac{3}{x-1 + x + x+1} = \frac{1}{x}$$
Markus skrev:Oppfølger
La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $abc=1$. Vis at $$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac32 $$
Ved CS: \[\left( \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\right)\left(\sum_{cyc} a\left(b+c\right) \right) \geq \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^2 \]
\[\Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)} \geq \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^2 / \left(\sum_{cyc} a\left(b+c\right) \right)\]
\[ = \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^2 / \left(2\sum_{cyc} ab \right)\]
\[= \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^2 / \left(2\sum_{cyc} \dfrac{1}{a} \right)\]
\[\dfrac{1}{2} \left(\sum_{cyc} \dfrac{1}{a} \right) \geq \dfrac{3}{2}, \] hvor den siste ulikheten følger av am-gm.
Oppfølger: Gitt at $a+b+c=3$, vis at \[ \sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+c^2} \geq \sqrt{3}.\]
Når det gjeld oppfølgar, meiner eg å hugse at denne ulikskapen har vore presentert tidlegare på dette forumet.
I alle fall får vi løysinga ved å bruke AM-HM-verktøyet på desse tre elementa: (x + y) , (x + z) og (y + z).
Gustav avsluttar sin " deduksjon " med å skrive rota av ( 2 ) * 3 >= rota av ( 3 ).
Da kan vi like gjerne skrive rota av( 2 ) * 3 > 3
Difor lurer eg på om der er ein skrivefeil i oppgaveteksta: Kunne vere freistande å skrive > 3 i staden for >= rota av ( 3 ) på H. S. Elles reagerer eg på første leddet (c[tex]^2[/tex]) under siste rotteiknet på V. S. For å bevare
symmetrien i uttrykket må første leddet vere a[tex]^2[/tex], eller ......... ?
Mattegjest skrev:
Difor lurer eg på om der er ein skrivefeil i oppgaveteksta: Kunne vere freistande å skrive > 3 i staden for >= rota av ( 3 ) på H. S. Elles reagerer eg på første leddet (c[tex]^2[/tex]) under siste rotteiknet på V. S. For å bevare
symmetrien i uttrykket må første leddet vere a[tex]^2[/tex], eller ......... ?
Jeg lurte også på det samme. Det hadde gitt mer mening om venstresida skulle vises å være strengt større enn 3. Håper mingjun kan oppklare saken.