En interessant feilaktig antakelse?

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Aleks855 » 29/04-2020 14:36

I en nylig video av 3blue1brown (https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk), så forekommer spørsmålet:

Hvis en funksjon $f$ har egenskapen $f(a+b) = f(a)\cdot f(b)$ for alle $a, b, \in \mathbb R$, hvilke av de følgende påstandene må være sann?

1: $f(5) = f(1)^5$

2: $f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$

3: $f(-1) = \frac{1}{f(1)}$

Flere av svarene kan være riktig.



Under diskusjonen av oppgaven ble det forklart hvilke alternativer som var riktige, men Grant (karen foran kamera) innså at dette kanskje var feil, og man kan konstruere et moteksempel på et av alternativene som ble antatt for å være sant.

Dette problemet er åpent for diskusjon fordi det innledningsvis ikke var helt veldefinert, men det er et veldig godt eksempel på kritisk tenking, og man kan lære mye av å pludre med det.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Gustav » 29/04-2020 16:50

Aleks855 skrev:I en nylig video av 3blue1brown (https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk), så forekommer spørsmålet:

Hvis en funksjon $f$ har egenskapen $f(a+b) = f(a)\cdot f(b)$ for alle $a, b, \in \mathbb R$, hvilke av de følgende påstandene må være sann?

1: $f(5) = f(1)^5$

2: $f(\frac12) = \sqrt(f(1))$

3: $f(-1) = \frac{1}{f(1)}$

Flere av svarene kan være riktig.




$f(5)=f(4+1)=f(4)f(1)=f(3)f(1)^2=f(2)f(1)^3=f(1)^5$ så nr.1 må være riktig.

Det er klart at f(a) identisk lik 0 er en løsning av ligningen. Dermed vil nr.3 ikke nødvendigvis være sann.


Edit: Rettelse angående argumentasjon for påstand nr. 2
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4400
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Aleks855 » 29/04-2020 17:50

Det er her jeg er litt usikker. Jeg ville påstått at 2 holder, siden $f(\frac12)\cdot f(\frac12) = f(\frac12 + \frac12) = f(1) \quad \Rightarrow \quad f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Gustav » 29/04-2020 19:15

Aleks855 skrev:Det er her jeg er litt usikker. Jeg ville påstått at 2 holder, siden $f(\frac12)\cdot f(\frac12) = f(\frac12 + \frac12) = f(1) \quad \Rightarrow \quad f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$?


Siden kodomenet til $f$ ikke er angitt kan vi la $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gitt ved $f(x)=e^{-\pi i x}$, som tilfredsstiller funksjonalligningen. Da er

$f(\frac12)=e^{-\frac{\pi}{2}i}=-i$
$f(1)=e^{-\pi i}=-1$.

$f(\frac12)=-i \neq i=\sqrt{-1}=\sqrt{f(1)}$

Det blir jo et søkt moteksempel, men poenget er at oppgaveformuleringen må være tydeligere.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4400
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Aleks855 » 29/04-2020 20:17

Ja, det var der problemet ble mer pedantisk.

Den aktuelle videoen omhandlet nettopp Eulers formel, så $\exp(x)$ var eksemplet som ble brukt, men ikke nødvendigvis med komplekst kodomene.

Vi har vel uansett $\exp(\frac12) \cdot \exp(\frac12) = \exp(1) = e$, med $\exp(\frac12) = \sqrt e$.

Er ikke dette et eksempel som tilfredsstiller både 1 og 2?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: En interessant feilaktig antakelse?

Innlegg Gustav » 29/04-2020 22:19

Aleks855 skrev:Ja, det var der problemet ble mer pedantisk.

Den aktuelle videoen omhandlet nettopp Eulers formel, så $\exp(x)$ var eksemplet som ble brukt, men ikke nødvendigvis med komplekst kodomene.

Vi har vel uansett $\exp(\frac12) \cdot \exp(\frac12) = \exp(1) = e$, med $\exp(\frac12) = \sqrt e$.

Er ikke dette et eksempel som tilfredsstiller både 1 og 2?


Jo, i tilfellet $f(x)=exp(x)$. Jeg tolket problemet som at man skulle vise hvilke av påstandene som er riktige for alle $f$ som tilfredsstiller funksjonalligningen. (ikke bare for exp(x))

Når det gjelder påstand nr 3. er det nok å kreve at $f(0)\neq 0$. Ved innsetting av $a=b=0$ fås $f(0)=f(0)^2$. Siden $f(0)\neq 0$ er $f(0)=1$. $a=1$, $b=-1$ gir til slutt at $f(1)f(-1)=1$. Da er $f(1)\neq 0$ så divisjon er tillatt, og $f(-1)=\frac{1}{f(1)}$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4400
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester