Bevisbekreftelse - normal undergruppe

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Bevisbekreftelse - normal undergruppe

Innlegg EivindL » 02/06-2007 11:01

[tex]S_n[/tex] = gruppen av alle permutasjoner av n elementer.
[tex]A_n[/tex] = gruppen av alle jevne permutasjoner av n elementer.
[tex]O_n[/tex] = gruppen av alle odde permutasjoner av n elementer.

Jeg skal vise at (1) [tex]A_n[/tex] er en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex], og (2) finne hvilken gruppe kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med.

1) Det første vi må vise, er at [tex]A_n[/tex] har halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex]. Dette gjør vi ved å lage en injektiv funksjon fra A_n på O_n.
La [tex]\varrho[/tex] være en transposisjon i S_n. Definer funksjonen [tex]\phi_{\varrho}:A_n\rightarrow O_n[/tex] ved [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\varrho\sigma[/tex]. Anta [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\phi_{\varrho}(\tau)[/tex], som gir [tex]\varrho\sigma[/tex]=[tex]\varrho\tau[/tex], som igjen gir [tex]\sigma=\tau[/tex]. Det viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er injektiv.

La [tex]u\in O_n[/tex], da er [tex]{\varrho}^{-1}u\in A_n[/tex], og [tex]\phi_{\varrho}(u{\varrho}^{-1}) = \varrho{\varrho}^{-1}u = u[/tex], som viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er på [tex]O_n[/tex].

Da trekker vi den slutning at A_n har like mange elementer som O_n. Siden ingen permutasjoner i S_n kan skrives som både et jevnt antall transposisjoner og et odde antall transposisjoner, ser vi at A_n og O_n til sammen utgjør S_n.

Siden [tex]A_n[/tex] inneholder halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex], vil , [tex]xA_n[/tex](venstre coset) inneholde alle elementer i [tex]S_n[/tex] som ikke er i [tex]A_n[/tex], men det vil også [tex]A_nx[/tex](høyre coset), så [tex]A_nx=xA_n[/tex], og dermed er [tex]A_n[/tex] en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex].

2) Kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] har dermed to elementer, {[tex]{A_n, qA_n}[/tex]}, hvor q er en odde permutasjon i S_n. Følgelig ser vi at [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med [tex]\mathbb{Z}_2[/tex].

Holder beviset vann?
Matematikere er som franskmenn; uansett hva man sier til dem, oversetter de det til sitt eget språk, og dermed blir det straks noe helt annet.
- Johann Wolfgang von Goethe
EivindL offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 56
Registrert: 02/01-2007 13:07
Bosted: Hadeland

Innlegg Magnus » 02/06-2007 15:10

1) Trenger det å bevises at det er like mange jevne som odde permutasjoner? Bør vel stå et bevis for dette i boka di..
- Når du skal bevise normal undergruppe må du påpeke at x er de elementene som ikke ligger i [tex]A_n[/tex] da. Kan også like greit vises ved å bruke at hvis [tex]H[/tex] er undergruppe av [tex]G[/tex]. Så er [tex]H[/tex] normal gitt at [tex]ghg^{-1} \in H, \ \forall h\in H, \ \forall g\in G[/tex].

Ellers ser det fint ut:-)
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg EivindL » 02/06-2007 15:18

Magnus skrev:1) Trenger det å bevises at det er like mange jevne som odde permutasjoner?
- Når du skal bevise normal undergruppe må du påpeke at x er de elementene som ikke ligger i [tex]A_n[/tex] da. Kan også like greit vises ved å bruke at hvis [tex]H[/tex] er undergruppe av [tex]G[/tex]. Så er [tex]H[/tex] normal gitt at [tex]ghg^{-1} \in H, \ \forall h\in H, \ \forall g\in G[/tex].

Ellers ser det fint ut:-)


1) Nei, det trengs vel ikke.

Sant som du sier, jeg burde påpekt at x ikke ligger i [tex]A_n[/tex].
Matematikere er som franskmenn; uansett hva man sier til dem, oversetter de det til sitt eget språk, og dermed blir det straks noe helt annet.
- Johann Wolfgang von Goethe
EivindL offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 56
Registrert: 02/01-2007 13:07
Bosted: Hadeland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester