Bevisbekreftelse - normal undergruppe

[EivindL]

$S_n$ = gruppen av alle permutasjoner av n elementer.
$A_n$ = gruppen av alle jevne permutasjoner av n elementer.
$O_n$ = gruppen av alle odde permutasjoner av n elementer.

Jeg skal vise at (1) $A_n$ er en normal undergruppe av $S_n$, og (2) finne hvilken gruppe kvotientgruppen $S_n/A_n$ danner en isomorfi med.

1) Det første vi må vise, er at $A_n$ har halvparten så mange elementer som $S_n$. Dette gjør vi ved å lage en injektiv funksjon fra A_n på O_n.
La $\varrho$ være en transposisjon i S_n. Definer funksjonen ${\varphi }_{\varrho }:A_n\to O_n$ ved ${\varphi }_{\varrho }(\sigma )$=$\varrho \sigma$. Anta ${\varphi }_{\varrho }(\sigma )$=${\varphi }_{\varrho }(\tau )$, som gir $\varrho \sigma$=$\varrho \tau$, som igjen gir $\sigma =\tau$. Det viser at ${\varphi }_{\varrho }$ er injektiv.

La $u\in O_n$, da er ${\varrho }^{-1}u\in A_n$, og ${\varphi }_{\varrho }(u{\varrho }^{-1})=\varrho {\varrho }^{-1}u=u$, som viser at ${\varphi }_{\varrho }$ er på $O_n$.

Da trekker vi den slutning at A_n har like mange elementer som O_n. Siden ingen permutasjoner i S_n kan skrives som både et jevnt antall transposisjoner og et odde antall transposisjoner, ser vi at A_n og O_n til sammen utgjør S_n.

Siden $A_n$ inneholder halvparten så mange elementer som $S_n$, vil , $x{A}_n$(venstre coset) inneholde alle elementer i $S_n$ som ikke er i $A_n$, men det vil også $A_{n}x$(høyre coset), så $A_{n}x=x{A}_n$, og dermed er $A_n$ en normal undergruppe av $S_n$.

2) Kvotientgruppen $S_n/A_n$ har dermed to elementer, {$A_n,q{A}_n$}, hvor q er en odde permutasjon i S_n. Følgelig ser vi at $S_n/A_n$ danner en isomorfi med ${\mathbb{Z}}_2$.

Holder beviset vann?

[Magnus]

1) Trenger det å bevises at det er like mange jevne som odde permutasjoner? Bør vel stå et bevis for dette i boka di..
- Når du skal bevise normal undergruppe må du påpeke at x er de elementene som ikke ligger i $A_n$ da. Kan også like greit vises ved å bruke at hvis $H$ er undergruppe av $G$. Så er $H$ normal gitt at $gh{g}^{-1}\in H,\mathrm{\forall }h\in H,\mathrm{\forall }g\in G$.

Ellers ser det fint ut:-)

[EivindL]

1) Trenger det å bevises at det er like mange jevne som odde permutasjoner?
- Når du skal bevise normal undergruppe må du påpeke at x er de elementene som ikke ligger i $A_n$ da. Kan også like greit vises ved å bruke at hvis $H$ er undergruppe av $G$. Så er $H$ normal gitt at $gh{g}^{-1}\in H,\mathrm{\forall }h\in H,\mathrm{\forall }g\in G$.

Ellers ser det fint ut:-)

1) Nei, det trengs vel ikke.

Sant som du sier, jeg burde påpekt at x ikke ligger i $A_n$.