I en av oppgavene plutarco la ut som øving til Abelkonkurransen, skulle man finne ut om $1234567891011 \dots 9899100$ var delelig på 3. Hintet sa at hvis dette skulle være sant måtte tverrsummen være delelig på $3$. Jeg begynte å tenke over hvorfor det må være sånn, og tenkte på om følgende er bevis på hintet.
La oss si at vi har et fem-sifret tall $n$:
$n = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + d \cdot 10^1 + e$
$n = a(9999 + 1) + b(999+1) + c(99+1) + d(9+1) + e$
$n = 9999a + 999b + 99c + 9d + a + b + c + d + e$.
Siden alle tall som skrives på formen $999$, $9999999$ osv har $3$ som faktor må alle slike tall være delelig på $3$ (de kan skrives som $3^2(10^n + 10^{n-1} + \dots + 10^0)$). I dette tilfellet får vi:
$n = 3(3333a + 333b + 33c + 3d) + a + b + c + d + e$
Hvis $n$ skal være delelig på $3$ må altså $a+b+c+d+e$ være delelig på $3$, slik at $3$ er en felles faktor for alle leddene i $n$.
Siden $a+b+c+d+e$ er tverrsummen betyr det altså at tverrsummen må være delelig på $3$. Dette stemmer for alle tall med $k$ siffer, da hver tierplass, hundrerplass, tusenplass, titusenplass osv. kan skrives på formen $10^m-1+1$.
Fungerer argumentasjonen, og kan man med samme argumentasjon også vise at hvis et tall er delelig på $9$, må også tverrsummen være delelig på $9$?