Aleks855 skrev:Tusen takk for innspill! Jo mer jeg graver, jo bedre ser jeg at bevisene ikke er så tungvinte som de først syntes å være.
Jeg må se nærmere på Bolzano-Weierstrass hvis jeg skal bruke den. Det virker som det er minste motstands vei.
Jeg ville nå iallfall kalle et grunnkurs i reell analyse uten Bolzano-Weierstrass ufullstendig. Jeg legger ved et bevis:
Proposisjon. Enhver reell følge har en monoton delfølge.
Bevis. La $(a_n)$ være en følge. Kall et element $a_n$ for en
topp dersom $a_m \leq a_n$ for alle $m\geq n$. Følgen $(a_n)$ må ha enten endelig eller uendelig mange topper. Dersom $(a_n)$ har uendelig mange topper, vil følgen av toppene gi oss en monotont synkende delfølge, og vi er ferdige. Dersom $(a_n)$ har endelig mange topper, finnes det en $n_0\in\mathbb{N}$ slik at $a_{n_0- 1}$ er den siste toppen i følgen. Ettersom $a_m$ ikke er en topp, finnes det en $n_1 > n_0$ slik at $a_{n_0} \leq a_{n_1}$. Induktivt, dersom vi har funnet et element $a_{n_r}$, vet vi at dette elementet ikke er en topp, så det finnes et element $n_{r+1} > n_r$ slik at $a_{n_r}\leq a_{n_{r+1}}$. Dermed ser vi at delfølgen $(a_{n_r})$ er monotont voksende. $\square$
Proposisjon. Dersom en følge er monoton og begrenset, konvergerer følgen.
Bevis. La $(a_n)$ være en monotont stigende følge som er oppad begrenset. Da eksisterer $a = \sup_{n\in\mathbb{N}} a_n$, og fra kompletthetsprinsippet vet vi at for alle $\varepsilon > 0$ finnes det en $N\in\mathbb{N}$ slik at $$a - \varepsilon < a_N \leq a.$$ Ettersom følgen er monotont stigende impliserer dette at $a - \varepsilon < a_n \leq a$ for alle $n\geq N$, så $a_n\rightarrow a$ når $n\rightarrow\infty$. Et liknende bevis viser at en monotont synkende begrenset følge konvergerer mot sitt infimum. $\square$
Teorem (Bolzano-Weierstrass). Enhver begrenset reell følge har en konvergent delfølge.
Bevis. Bruk at enhver delfølge til en begrenset følge også vil være begrenset, og kombinér proposisjonene ovenfor. $\square$